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本卷共 23 题，其中：
选择题 10 题，填空题 8 题，解答题 5 题
中等难度 23 题。总体难度: 中等
选择题 共 10 题
  1. 三棱锥P-ABC，PA⊥面ABC，AC⊥BC，点E、F分别是A在PB、PC上的射影，则 （ ）
    A．∠EAF是二面角B-PA-C的平面角
    B．∠AFE是二面角A-PC-B的平面角
    C．∠FEA是二面角C-PB-A的平面角
    D．∠PCB是二面角P-AC-B的平面角

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个 小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：l，若仍用这个容器盛水，则最多可盛永的体积是原来的（ ）
    A．
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 设一个正三棱锥的侧面与底面所成的角为α，相邻两个侧面所成的角为β，那么两个角α和β的三角函数间的关系是（ ）
    A．2cos2α+3cosβ=1
    B．2cosα+3cos2β=1
    C．3cos2α+2cosβ=1
    D．3cosα+2cos2β=1

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知正四棱锥的侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为θ1，相邻两侧面所成的二面角为θ2，则（ ）
    A．
    B．
    C．θ1=θ2
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图，在体积为1的三棱锥A-BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于（ ）

    A．
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）

    A．K
    B．H
    C．G
    D．B′

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）
    A．
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 以平行六面体的8个顶点中任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数最多为（ ）
    A．20
    B．28
    C．32
    D．36

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）
    A．不存在
    B．有且只有两条
    C．有且只有三条
    D．有无数条

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（ ）
    A．2
    B．3
    C．4
    D．5

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 8 题
  1. 如果正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则α的值是________．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 一个棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为________．（写出一个可能值）

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 正四棱锥的底面积为Q，侧面积为P，侧面与底面所成的二面角为α，则cosα=________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C上一线段PQ=1，AB=2，则棱锥的体积VQ-PBD=________．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 若正三棱锥底面的边长为a，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为________．

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 对正多面体有如下描述：①每个面都是正多边形，棱数可以不同；②每个顶点必须有相同的棱数；③正多面体有无数个；④正多面体的一个面的边数可以是3或4．其中正确的有________．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列四个命题：
    ①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；
    ②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
    ③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；
    ④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α-AB-β的取值范围是________．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 5 题
  1. 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点，求：
    （1）点G到平面BFD1E的距离；
    （2）四棱锥A1-BFD1E的体积．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．
    （I）求点P到平面ABCD的距离，
    （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，D为AB的中点，A1D⊥AB1，且AC=BC，
    （1）求证：A1C⊥AB1；
    （2）若CC1到平面A1ABB1的距离为1，，，求三棱锥A1-ACD的体积；
    （3）在（2）的条件下，求点B到平面A1CD的距离．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，
    （Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
    （Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；
    （Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．
    （1）证明：平面ADE⊥平面ACC1A1
    （2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．

    难度: 中等查看答案及解析