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本卷共 22 题，其中：
单选题 8 题，多选题 4 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 5 题，中等难度 11 题，困难题 6 题。总体难度: 中等
单选题 共 8 题

  1. 已知集合，，则（　　 ）

    A.∅ B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知i为虚数单位，复数，则（　　 ）.

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 设，则“”是“”的（　　 ）

    A.充分不必要条件 B.充要条件

    C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知向量，若，则的最小值为（　　 ）.

    A.12 B. C.16 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　 ）

    A. B.的最小正周期是

    C.在区间，上单调递增 D.在区间，上单调递减

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 等比数列的前项和为，公比为，若，，则（　 ）

    A. B.2 C. D.3

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为(　　 )

    A. B. C. D.

    难度: 困难查看答案及解析

  8. 已知函数，设，，，则（　　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

多选题 共 4 题

  1. 下列说法正确的是（　　 ）

    A.方程表示一条直线 B.到x轴的距离为2的点的轨迹方程为

    C.方程表示四个点 D.是的必要不充分条件

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线上一点，且，若，则下面有关结论正确的是（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（　　 ）

    A. B.平面

    C.存在点E，使得平面平面 D.三棱锥的体积为定值

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（　　 ）

    A. B.

    C. D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 7人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是____________（用数字作答）.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知等差数列的首项及公差均为正数，令，当是数列的最大项时， __________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则该抛物线C的焦点坐标为：_______________，所在的直线方程为_______________.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 函数若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 6 题

  1. 已知△ABC的内角A，B，C满足．

    （1）求角A；

    （2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前n项和满足，并且成等比数列.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设，为数列的前n项和，求.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，三棱锥中，平面

    ，，．分别为线段上的点，且．　　　　　　　　　　　　　　

    (1)证明：平面；

    (2)求二面角的余弦值．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，椭圆上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为；

    （1）求椭圆的方程；

    （2）过作垂直于轴的直线交椭圆于两点（点在第二象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （1）讨论的单调性；

    （2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中）

    平均温度

    21

    23

    25

    27

    29

    32

    35

    平均产卵数/个

    7

    11

    21

    24

    66

    115

    325

    27.429

    81.286

    3.612

    40.182

    147.714

    （1）根据散点图判断，与（其中自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）

    （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.

    ①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率p.

    ②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.

    附：线性回归方程系数公式.

    难度: 困难查看答案及解析