过点作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,则该抛物线C的焦点坐标为:_______________,所在的直线方程为_______________.
高三数学填空题困难题
已知抛物线,过焦点作动直线交于两点,过分别作圆的两条切线,切点分别为,若垂直于轴时,.
(1)求抛物线方程;
(2)若点也在曲线上,为坐标原点,且,,求实数的取值范围.
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如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴正半轴上,准线与轴的交点为.过点作圆的两条切线,两切点分别为,,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如图,过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线,,分别交抛物线于,两点和,两点,,分别为线段和的中点,求面积的最小值.
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,,为常数,离心率为的双曲线:上的动点到两焦点的距离之和的最小值为,抛物线:的焦点与双曲线的一顶点重合。(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)过直线:(为负常数)上任意一点向抛物线引两条切线,切点分别为、,坐标原点恒在以为直径的圆内,求实数的取值范围。
【解析】第一问中利用由已知易得双曲线焦距为,离心率为,则长轴长为2,故双曲线的上顶点为,所以抛物线的方程
第二问中,为,,,
故直线的方程为,即,
所以,同理可得:
借助于根与系数的关系得到即,是方程的两个不同的根,所以
由已知易得,即
【解析】
(Ⅰ)由已知易得双曲线焦距为,离心率为,则长轴长为2,故双曲线的上顶点为,所以抛物线的方程
(Ⅱ)设为,,,
故直线的方程为,即,
所以,同理可得:,
即,是方程的两个不同的根,所以
由已知易得,即
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(本小题满分12分)已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若点为抛物线的准线上的任意一点,过点作抛物线的切线与,切点分别为,求证:直线恒过某一定点;
(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论,反思其解题过程,再对命题(Ⅱ)进行变式和推广.请写出一个你发现的真命题,不要求证明(说明:本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分).
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过点作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,则该抛物线C的焦点坐标为:_______________,所在的直线方程为_______________.
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设抛物线的焦点为,为直线上的动点,过作的两条切线,切点分别为.
(1)若的坐标为,求;
(2)证明:.
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已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆,它的离心率为,一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点引椭圆的两条切线,切点分别是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点;并出求定点的坐标.
(Ⅲ)是否存在实数,使得恒成立?(点为直线恒过的定点)若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
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已知抛物线的方程为,过点(为常数)作抛物线的两条切线,切点分别为,.
(1)过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于,两点,,两点在轴上的射影分别为,,且,求抛物线的方程;
(2)设直线,的斜率分别为,.求证:为定值.
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已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆,它的离心率为,一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线,切点分别是A,B.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点;并出求定点的坐标.
(Ⅲ)是否存在实数,使得恒成立?(点为直线恒过的定点)若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
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已过抛物线:的焦点作直线交抛物线于,两点,以,两点为切点作抛物线的切线,两条直线交于点.
(1)当直线平行于轴时,求点的坐标;
(2)当时,求直线的方程.
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