江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试卷

已知，为虚数单位，且，则=_____.

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设集合，，则实数＝_____

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从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差 　　　　 ．

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执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_______.

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函数的单调递增区间为________.

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100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.

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已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为_______.

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记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________.

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已知函数（），且（），则　　 ．

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已知点，若圆上存在点M满足,则实数的取值范围是_____.

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已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________。

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已知椭圆上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF＝时，椭圆的离心率为_______.

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在中，角的对边分别为，若，则＝______.

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记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是　　.

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在中，角的对边分别为，已知成等比数列，且．

（1）若，求的值；　　

（2）求的值．

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如图，在四棱柱中，已知平面平面，且， ．

（1）求证： ；

（2）若为棱的中点，求证： 平面．

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某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面积S△DEF的最大值；

(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF

连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．

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已知依次满足

（1）求点的轨迹；

（2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

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已知数列满足：（为常数），数列中，。

⑴求；

⑵证明：数列为等差数列；

⑶求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。

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已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；

（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为-4；

（i）求的值；

（ii）若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数m的取值范围；

（2）若直线，直线与曲线切于点B且交曲线于点D，直线与曲线切于点C且交曲线于点A，记点的横坐标分别为，求的值.

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已知矩阵的一个特征值是，求矩阵的另一个特征值，及属于的一个特征向量。

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已知曲线的参数方程为（为参数），曲线在点处的切线为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程.

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已知均为正数，且，求的最小值，并指出取得最小值时的值．

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已知直三棱柱中，为等边三角形，延长至，使，连接，若．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求平面与平面所成的锐二面角．

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在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．设空间内个平面最多可将空间分成个部分．

（1）求的值；

（2）用数学归纳法证明此结论．

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