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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 10 题，中等难度 7 题，困难题 6 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 设，集合，则（　　）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 若复数满足，则的共轭复数（　　）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 设角的终边过点，则（　　）

    A.  B.  C. 5 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（　　）

    A. 6 B. 5 C. 4 D. 2

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 若中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（　　　 ）

    A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 函数的图象的大致形状是（　　）

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（　　）

    A. 是偶函数且它的图象关于点对称 B. 是奇函数且它的图象关于点对称

    C. 是偶函数且它的图象关于点对称 D. 是奇函数且它的图象关于点对称

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知是抛物线上的一动点，则点到直线和抛物线的准线的距离之和的最小值是（　　）

    A.  B. 2 C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分.已知数列满足，，则等于（　　）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 困难查看答案及解析

  11. 已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 设是半径为2 的球面上的四点，且满足，则三个三角形的面积之和的最大值是（　　）

    A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知向量，则在方向上的投影为______．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为______．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 若，则______．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知数列满足.

    （1）求和的通项公式；

    （2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面.

    （1）求证：平面；

    （2）当时，求二面角的余弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客，提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2019双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见下表）

    年份

    2014

    2015

    2016

    2017

    2018

    年份编号t

    1

    2

    3

    4

    5

    参与人数（百万人）

    0.5

    0.6

    1

    1.4

    1.7

    （1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型模拟拟合参与人数（百万人）与年份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数；

    （2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：

    报价区间(千元)

    频数

    200

    600

    600

    300

    200

    100

    ①求这2000为参与人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；

    ②假设所有参与该商品促销活动人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均值和样本方差估值.若预计2019年双十一该商品最终销售量为317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价.

    参考公式即数据（i）回归方程：，其中，

    （ii）

    （iii）若随机变量服从正态分布，则，，

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知过定点的动圆是与圆相内切.

    （1）求动圆圆心的轨迹方程；

    （2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数，其中为自然对数的底数，.

    （1）当时，求的极值；

    （2）若存在实数，使得，且，求证：

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

    （1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

    （2）若曲线上的两点满足，过作交于点，求证：点在以为圆心的定圆上.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 已知函数

    （1）若，求不等式的解集；

    （2）若不等式的解集为非空集合，求的取值范围.

    难度: 简单查看答案及解析