北京师范大学附属实验中学2019届高三3月高考模拟试卷（一）数学（理科）试卷

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本卷共 20 题，其中：
单选题 8 题，填空题 6 题，解答题 6 题
简单题 10 题，中等难度 8 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

单选题共 8 题

已知集合，集合，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
设实数满足约束条件，则的最小值是（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 7

难度: 简单查看答案及解析
若实数满足，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
设，则“”是“”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
已知双曲线，其中，双曲线半焦距为，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
用一块圆心角为240°、半径为的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（　　）
A. 三分鹿之一 B. 三分鹿之二
C. 一鹿 D. 一鹿、三分鹿之一

难度: 简单查看答案及解析

填空题共 6 题

在等比数列中，前项和为，若，，则公比的值是_____．

难度: 简单查看答案及解析
已知数列为等比数列，且，则的值为_____．

难度: 简单查看答案及解析
已知曲线在处的切线方程为，则_____．

难度: 简单查看答案及解析
已知实数满足约束条件，则的最大值为_____．

难度: 中等查看答案及解析
设二次函数（为实常数）的导函数为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为_____．

难度: 困难查看答案及解析
已知抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点．且（为坐标原点），若抛物线上存在一点，其中，使过点的切线，则切线在轴的截距为_____．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 6 题

已知，．
（1）求的最大值、最小值；
（2）为的内角平分线，已知，，，求．

难度: 中等查看答案及解析
在多面体中，为等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点到平面距离．

难度: 中等查看答案及解析
近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？

对快递满意

对快递不满意

合计

对商品满意

80

对商品不满意

合计

200

（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．
附：（其中为样本容量）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

难度: 中等查看答案及解析
已知为正项等比数列，，且数列满足：．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和，并求使得恒成立的取值范围．

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆左顶点为，上顶点为，直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，与轴交于点，以线段为对角线作正方形，若．
（i）求椭圆方程；
（ii）若点在直线上，且满足，求使得最长时，直线的方程．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数的图象始终在函数图象的下方，求实数的取值范围．

难度: 困难查看答案及解析

	对快递满意	对快递不满意	合计
对商品满意	80
对商品不满意
合计			200

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635