湖南省长沙市2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 12 题，中等难度 8 题，困难题 3 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知集合若，则实数的取值范围为（　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
美国总统伽菲尔德利用如图给出了一种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知为锐角，则的值为（　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足（　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知命题数列的通项公式为为实数，，且恒为等差数列；命题数列的通项公式为时，数列为递增数列.若为真，则实数的取值范围为（　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数，则定积分的值为(　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程所有解的和为（　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面，上取三点，其中为侧面的对角线上一点（与对角线端点不重合），为侧面的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点，则的最小值为(　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 4　　 D. 2

难度: 简单查看答案及解析
已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点，直线与抛物线的准线交于，若，则双曲线的方程为（　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
小明站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨如图所示.设小明从点开始随动点变化的视角为，练车时间为，则函数的图象大致为（　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
定义，已知为函数的两个零点，若存在整数n满足，则的值（　）
A. 一定大于　　 B. 一定小于　　 C. 一定等于　　 D. 一定小于

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，记，用表示，则_________.

难度: 中等查看答案及解析
太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.

难度: 简单查看答案及解析
已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.

难度: 简单查看答案及解析
在各项均为正数的等比数列中，，当取最小值时，则数列的前项和为__________．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

已知中，内角所对的边分别为，且.
（1）若，求；
（2）若的面积为，求的周长.

难度: 简单查看答案及解析
如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，，，为线段上一点.
(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由
(2)己知，若异面直线与成角，二而角的余弦值为，求的长.

难度: 困难查看答案及解析
随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；
(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
①先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，随机变量，求的分布列与数学期望；
②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?

难度: 困难查看答案及解析
已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上?

难度: 中等查看答案及解析
设函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若，证明 .

难度: 中等查看答案及解析
曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于对称．
(1)求极坐标方程，直角坐标方程；
(2)将向左平移4个单位长度，按照变换得到与两坐标轴交于两点，为上任一点，求的面积的最大值.

难度: 简单查看答案及解析
已知．
(1)解关于的不等式；
(2)对任意正数，求使得不等式恒成立的的取值集合.

难度: 简单查看答案及解析