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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 3 题，中等难度 13 题，困难题 7 题。总体难度: 中等
单选题 共 12 题

  1. 已知为虚数单位，则（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 8

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知， ，则（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知向量与的夹角为，且， ，则（　 ）

    A. 3　　 B. 4　　 C. 6　　 D. 8

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 点到直线的距离是（　 ）

    A. 1　　 B. 2　　 C. 　　 D. 6

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知， ， ，则、、的大小关系是（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 若函数的图象关于轴对称，则的一个值为（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知抛物线的焦点是椭（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  9. 中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为（），例如.我国南北朝时代名著《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图的程序框图，则输出的（　 ）

    A. 16　　 B. 18　　 C. 23　　 D. 28

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 设、，已知， ，且（， ），则的最大值是（　 ）

    A. 1　　 B. 2　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 已知函数，函数有4个零点，则实数的取值范围是（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知、满足约束条件，则目标函数的最大值与最小值之和为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知、、是的三个内角，且， ，则__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于 (、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， 于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 已知是定义在上的奇函数， 是的导函数，当时， ，若，则实数的取值范围是__________．

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知数列满足，且.

    （Ⅰ）求证：数列是等比数列；

    （Ⅱ）数列满足，判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段： ,,,， ， ，得到如图所示的频率分布直方图.问：

    （Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；

    （Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在的概率.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，在四棱锥中，底面为正方形， , .

    （Ⅰ）若是的中点，求证： 平面；

    （Ⅱ）若， ，求三棱锥的高.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知抛物线的焦点曲线的一个焦点， 为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知抛物线的焦点曲线的一个焦点， 为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

    【答案】（I）；（II）证明见解析.

    【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线化为标准方程，可求得的焦点坐标分别为，可得，所以，即抛物线的方程为；（Ⅱ）结合（Ⅰ），可设，得，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点.

    （Ⅰ）由曲线，化为标准方程可得， 所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，所以，即抛物线的方程为.

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为，设，显然.故，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得

    ①当，即时，直线的方程为，

    ②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点， 也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点.

    【题型】解答题
    【结束】
    21

    已知函数，

    （Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；

    （Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

    （Ⅲ）若数列满足， ，记的前项和为，求证： .

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知函数，

    （Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；

    （Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

    （Ⅲ）若数列满足， ，记的前项和为，求证： .

    【答案】（I）；（II）；（III）证明见解析.

    【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）当时，因为，所以显然不成立，先证明因此时， 在上恒成立，再证明当时不满足题意，从而可得结果；（III）先求出等差数列的前项和为，结合（II）可得，各式相加即可得结论.

    （Ⅰ）由，得.所以

    令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为 .

    （Ⅱ）由得，

    当时，因为，所以显然不成立，因此.

    令，则，令，得.

    当时， ， ，∴，所以，即有.

    因此时， 在上恒成立.

    ②当时， ， 在上为减函数，在上为增函数，

    ∴，不满足题意.

    综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.

    （III）证明：由知数列是的等差数列，所以

    所以

    由（Ⅱ）得， 在上恒成立.

    所以难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知直线， (为参数， 为倾斜角).以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.

    （Ⅰ）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；

    （Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.

    【答案】（I）；（II）.

    【解析】试题分析：（Ⅰ）将由代入，化简即可得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）将的参数方程代入，得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.

    （Ⅰ）由及，得，即

    所以曲线的极坐标方程为

    （II）将的参数方程代入，得

    ∴,　　 所以，又，

    所以，且,

    所以,

    由，得，所以.

    故的取值范围是.

    【题型】解答题
    【结束】
    23

    已知、、均为正实数.

    （Ⅰ）若，求证：

    （Ⅱ）若，求证：

    难度: 中等查看答案及解析