湖南省长沙市2018届高三实验班选拔考试理数试卷

若复数（其中， 为虚数单位）的虚部为1，则

A. 1　　 B. 2　　 C. 　　 D.

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已知集合，集合，则

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

已知等差数列的前项和为，若，则

A. 23　　 B. 96　　 C. 224　　 D. 276

难度: 简单查看答案及解析

已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为

A. 　　 B.

C. 2　　 D.

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执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为

A. 7　　 B. 9　　 C. 10　　 D. 11

难度: 中等查看答案及解析

若二项式展开式的各项系数之和为 ，则含项的系数为

A. 560　　 B. 　　 C. 280　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是

A. 　　 B.

C. 　　 D.

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已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析

已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上， 底面，且二面角的正切值为4，则球的表面积为

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

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已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

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若实数满足，则的最小值为__________．

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设， ，且，则__________．

难度: 简单查看答案及解析

已知， ，则__________．

难度: 困难查看答案及解析

在数列中，首项不为零，且， 为的前项和．令，则的最大值为__________．

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在锐角中， 分别为角的对边，且．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，求面积的取值范围．

难度: 中等查看答案及解析

如图，在直三棱柱中， ， 为线段的中点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．

难度: 中等查看答案及解析

某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：

（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？

（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？

附：回归方程系数公式： ．

难度: 中等查看答案及解析

已知是抛物线上一点， 到直线的距离为， 到的准线的距离为，且的最小值为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．

难度: 困难查看答案及解析

已知函数（， 为自然对数的底数）在点处的切线经过点．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

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设， ， ， ， 是5个正实数（可以相等）．

证明：一定存在4个互不相同的下标， ， ， ，使得．

难度: 困难查看答案及解析

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系中，直线的方程为： ，直线的方程为．

（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；

（Ⅱ）设与曲线交于两点， 与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．

难度: 中等查看答案及解析