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本卷共 22 题,其中:
选择题 12 题,填空题 4 题,解答题 6 题
简单题 10 题,中等难度 5 题,困难题 7 题。总体难度: 简单
选择题 共 12 题
  1. 的值是(     )

    (A)0      (B)     (C)  (D)1

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 函数是(     )

    (A)最小正周期为的偶函数           (B)最小正周期为的奇函数

    (C)最小正周期为的偶函数            (D)最小正周期为的奇函数

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为(    )

    (A)锐角三角形     (B)直角三角形

    (C)钝角三角形     (D)由增加的长度决定

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 下列说法中,正确的个数为(    )

    (1)

    (2)已知向量的夹角是钝角,则的取值范围是

    (3)若向量能作为平面内所有向量的一组基底

    (4)若,则上的投影为

    (A)1个        (B)2个        (C)3个        (D)4个

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知,则的值为(    )

    (A)-1        (B)-1或        (C)          (D)

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 是以2为周期的奇函数,且,若,则(   )

    A.       B.3           C.         D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 设向量若是实数,则的最小值为                                                                (     )

    A .   B.    C.    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知,且垂直,则实数的值为(    )

    A.      B.      C.     D.1[

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知函数()的图象(部分)如图所示,则的解析式是        (     )

    A.         B.

    C.        D.

    难度: 困难查看答案及解析

  10. 函数的单调减区间为   (     )

    A.              B.

    C.          D.

    难度: 困难查看答案及解析

  11. 已知函数,且,则下列结论中,必成立的是(     )

    A.            B.

    C.                  D.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 集合现给出下列函数:①,②,③,④,若 时,恒有则所有满足条件的函数的编号是(     )

    A  ①②  B ①②③    C ④   D ①②④  

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 一个扇形的面积为1,周长为4,则这个扇形的圆心角为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 如图,在△ABC中,ADAB,,则_________.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知,则=________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 关于函数有下列命题:

    ①函数的周期为

    ②直线的一条对称轴;

    ③点的图象的一个对称中心;

    ④将的图象向左平移个单位,可得到的图象.

    其中真命题的序号是.(把你认为真命题的序号都写上)

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 6 题
  1. 已知向量=(), =().

    (1)当时,求的值。

    (2)已知=的值。

    【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算,以及构造角求解三角函数值的运用。

    第一问中,利用

    第二问中,结合第一问中 =

    然后,构造角得到结论。

    解、(1)

    (2)因为:

     =

    所以:

    因为:

    =

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知函数

    (1)求函数的最小正周期和最大值;

    (2)求函数的增区间;

    (3)函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到?

    【解析】本试题考查了三角函数的图像与性质的运用。第一问中,利用可知函数的周期为,最大值为

    第二问中,函数的单调区间与函数的单调区间相同。故当,解得x的范围即为所求的区间。

    第三问中,利用图像将的图象先向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),然后把纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变),再向上平移1个单位即可。

    【解析】
    (1)函数的最小正周期为,最大值为

    (2)函数的单调区间与函数的单调区间相同。

    所求的增区间为

    所求的减区间为

    (3)将的图象先向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),然后把纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变),再向上平移1个单位即可。

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 如图,已知点和单位圆上半部分上的动点B.

    (1)若,求向量

    (2)求的最大值.

    【解析】对于这样的向量的坐标和模最值的求解,利用建立直角坐标系的方法可知。

    第一问中,依题意,

    因为,所以,即

    解得,所以

    第二问中,结合三角函数的性质得到最值。

    (1)依题意,(不含1个或2个端点也对)

     (写出1个即可)

    因为,所以,即

    解得,所以.-

    (2)

     时,取得最大值,

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图所示,圆柱的高为2,底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线,过作圆柱的截面交下底面于.

    (1)求证:

    (2)若四边形ABCD是正方形,求证

    (3)在(2)的条件下,求二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值。

    【解析】第一问中,利用由圆柱的性质知:AD平行平面BCFE

    又过作圆柱的截面交下底面于.

    又AE、DF是圆柱的两条母线

    ∥DF,且AE=DF    AD∥EF

    第二问中,由线面垂直得到线线垂直。四边形ABCD是正方形  又

    BC、AE是平面ABE内两条相交直线

    第三问中,设正方形ABCD的边长为x,则在

    由(2)可知:为二面角A-BC-E的平面角,所以

    证明:(1)由圆柱的性质知:AD平行平面BCFE

    又过作圆柱的截面交下底面于.

    又AE、DF是圆柱的两条母线

    ∥DF,且AE=DF    AD∥EF

    (2) 四边形ABCD是正方形  又

    BC、AE是平面ABE内两条相交直线

    (3)设正方形ABCD的边长为x,则在

    由(2)可知:为二面角A-BC-E的平面角,所以

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 如图,某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地,外的地方种草,的内接正方形为一水池,其余地方种花.若 ,设的面积为,正方形的面积为,将比值称为“规划合理度”.

    (1)试用,表示.

    (2)当为定值,变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小.

    【解析】第一问中利用在ABC中  

    设正方形的边长为  则  然后解得

    第二问中,利用  而

    借助于 为减函数 得到结论。

    (1)、 如图,在ABC中  

     

    设正方形的边长为  则 

      =

    (2)、  而  ∵0 <  < ,又0 <2 <,0<t£1 为减函数

    时 取得最小值为此时 

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 如图,是△的重心,分别是边上的动点,且三点共线.

    (1)设,将表示;

    (2)设,证明:是定值;

    (3)记△与△的面积分别为.求的取值范围.

    (提示:

    【解析】第一问中利用(1)

    第二问中,由(1),得;①

    另一方面,∵是△的重心,

    不共线,∴由①、②,得

    第三问中,

    由点的定义知

    时,时,.此时,均有

    时,.此时,均有

    以下证明:,结合作差法得到。

    【解析】
    (1)

    (2)一方面,由(1),得;①

    另一方面,∵是△的重心,

    .  ②

    不共线,∴由①、②,得

    解之,得,∴(定值).

    (3)

    由点的定义知

    时,时,.此时,均有

    时,.此时,均有

    以下证明:.(法一)由(2)知

    ,∴

    ,∴

    的取值范围

    难度: 困难查看答案及解析