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试卷详情
本卷共 22 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 6 题
中等难度 22 题。总体难度: 中等
选择题 共 12 题
  1. 某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（ ）
    A．50种
    B．70种
    C．35种
    D．55种

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 若函数y=f（x）存在反函数y=f-1（x），且函数y=2x-f（x）的图象过点（2，1），则函数y=f-1（x）-2x的图象一定过点（ ）
    A．（3，2）
    B．（-2，3）
    C．（-4，3）
    D．（3，-4）

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（ ）
    A．（5，π）
    B．（4，π）
    C．（-1，2π）
    D．（4，2π）

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 命题p：若，则与的夹角为钝角．命题q：定义域为R的函数f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）上都是增函数，则f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．下列说法正确的是（ ）
    A．“p或q”是真命题
    B．“p且q”是假命题
    C．¬p为假命题
    D．¬q为假命题

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知实数a，b满足：（其中i是虚数单位），若用Sn表示数列{a+bn}的前n项的和，则Sn的最大值是（ ）
    A．16
    B．15
    C．14
    D．12

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 把下列各题中的“=”全部改成“＜”，结论仍然成立的是（ ）
    A．如果a=b，c=d，那么a-c=b-d
    B．如果a=b，c=d，那么ac=bd
    C．如果a=b，c=d，且cd≠0，那么
    D．如果a=b，那么a3=b3

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线6x-y-8=0所围成三角形的边界及内部．当（x，y）∈D时，x2+y2+2x的最大值为（ ）
    A．24
    B．25
    C．4
    D．7

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 设a＞1，定义，如果对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7logab＞7loga+1b+7（a＞0且a≠1）恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
    A．
    B．（0，1）
    C．（0，4）
    D．（1，+∞）

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（ ）
    A．-2
    B．
    C．1
    D．0

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 如图所示，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6．若tan∠ADP-2tan∠BCP=1，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）

    A．椭圆的一部分
    B．线段
    C．双曲线的一部分
    D．以上都不是

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（ ）
    A．
    B．
    C．
    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a + b＞c则+＞；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x）=0是函数y=f（x）在x=x处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（ ）
    A．①②③④
    B．①④
    C．②③④
    D．②③

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若=-，则B=________．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x3的系数为________．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 对于连续函数f（x）和g（x），函数|f（x）-g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为（f（x），g（x）），则（，-x）=________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 下面给出的四个命题中：
    ①对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y=2x+1上是数列an为等差数列的充分不必要条件；
    ②“m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
    ③设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）与坐标轴有4个交点A（x1，0），B（x2，0），C（0，y1），D（0，y2），则有x1x2-y1y2=0；
    ④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数的图象．
    其中是真命题的有________（将你认为正确的序号都填上）．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 6 题
  1. 某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
    （1）该考生得分为40分的概率；
    （2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．
    现在老王决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得．
    （1）请你帮老王算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；
    （2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，多面体EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，面ACFE⊥面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=．
    （1）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM；
    （2）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知数列{an} 是公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和．
    （1）若a2，a3，a6依次成等比数列，求其公比q；
    （2）若，求证：对任意的m，n∈N*，向量与向量共线；
    （3）若a1=1，，，问是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的n∈N*，点Qn都在这个圆内或圆周上．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中m，n∈R且m-2n=1．
    （1）求点C的轨迹方程；
    （2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；
    （3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．
    （Ⅰ）求f （x）的单调区间；
    （Ⅱ）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
    （Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

    难度: 中等查看答案及解析