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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 2 题，中等难度 14 题，困难题 7 题。总体难度: 中等
单选题 共 12 题

  1. 已知集合，，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知是虚数单位，复数满足，则

    A. 　　 B.

    C. 　　 D. 5

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下表所示：

    

    

    

    

    

    若满足回归方程，则以下为真命题的是（　　 ）

    A. 每增加1个单位长度，则一定增加1.5个单位长度

    B. 每增加1个单位长度，就减少1.5个单位长度

    C. 所有样本点的中心为

    D. 当时，的预测值为13.5

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（　　 ）

    A. 4　　 B. 　　 C. 　　 D. 6

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. “”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的（　　 ）

    A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件　　 C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填的内容是

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 2　　 D. 3

    难度: 困难查看答案及解析

  10. 某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”五种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有

    A. 114种　　 B. 150种

    C. 120种　　 D. 118种

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由点运动到的中点时，函数的图象大致是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 已知为函数的导函数，当是斜率为的直线的倾斜角时，若不等式恒成立，则（　　 ）

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知函数，则其最小正周期为_______.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 过，两点的光线经轴反射后所在直线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_______.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_______.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知数列的前项和.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）求数列的前项和.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，分别是的中点.

    （1）证明：平面；

    （2）若，求二面角的余弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：

    （1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；

    （2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.

    ①求随机变量的分布列；

    ②求随机变量的数学期望.

    参考数据如下：

    0.05

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

    参考格式：，其中

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.

    （1）求动点的轨迹的方程；

    （2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （1）若函数，试研究函数的极值情况；

    （2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 选修4-4：坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中，已知圆：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.

    （1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程；

    （2）设圆与圆的公共弦的端点为，圆的圆心为，求的面积.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 选修4-5：不等式选讲

    已知均为正实数，且.

    （1）求的最大值；

    （2）求的最大值.

    难度: 中等查看答案及解析