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本卷共 22 题，其中：
单选题 11 题，填空题 5 题，解答题 6 题
简单题 6 题，中等难度 10 题，困难题 6 题。总体难度: 中等
单选题 共 11 题

  1. 已知复数满足 (为虚数单位)，则等于

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知抛物线的方程是，则它的焦点坐标是

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为

    A. 12　　 B. 10　　 C. 8　　 D. 6

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 如图所示是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有

    A. a1、a2的大小不确定　　 B. a1＝a2

    C. a1>a2　　 D. a2>a1

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知向量， ，且与互相垂直，则

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 下面结论正确的是（　　 ）

    ①“所有2的倍数都是4的倍数，某数是2的倍数，则一定是4的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.

    ②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.

    ③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.

    ④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式必为.

    A. ①③　　 B. ②③　　 C. ③④　　 D. ②④

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率：先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数，指定1,2,3,4,5表示命中，6,7,8,9,0表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次射箭的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

    807　　 966　　 191　　 925　　 271　　 932　　 812　　 458　　 569　　 683

    489　　 257　　 394　　 027　　 552　　 488　　 730　　 113　　 537　　 741

    根据以上数据，估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为

    A. 0.20　　 B. 0.25　　 C. 0.30　　 D. 0.50

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 程序框图如图所示，若上述程序运行的结果，则判断框中应填入

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知函数满足在上恒成立， 是其图像上的两点，那么的解集是

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

    A. 528　　 B. 1032

    C. 1040　　 D. 2064

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 我们把形如的函数称为幂指函数, 幂指函数在求导时, 可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得, 两边求导得,于是. 运用此方法可以探求得的单调递增区间是

    A. 　　 B. (0,1)　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 5 题

  1. 在平面直角坐标系中，已知的顶点B在双曲线上，顶点A(,0)和C(3,0)，则的值为

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 若命题，则 _____________．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 的值是_________.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 在平面内，向图形内投点，则点落在由不等式组所确定的平面区域的概率为___________.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知A(1,1)为椭圆内一点， 为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值为____________.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 6 题

  1. 设命题：对任意实数，不等式恒成立；命题:方程表示焦点在轴上的双曲线.

    （1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

    （2）若是的充分条件，求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 北京大学从参加逐梦计划自主招生考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组， ，…， 后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

    （1）求分数在内的频率；

    （2）估计本次考试成绩的中位数（结果四舍五入，保留整数）；

    （3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有人在分数段内的概率.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，直三棱柱中， 、分别是, 的中点，已知与平面所成的角为， .

    （1）证明： ∥平面；

    （2）求二面角的正弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知函数， 在原点处切线的斜率为1， ，数列满足为常数，且， .

    （Ⅰ）求的解析式;

    （Ⅱ）计算，并由此猜想出数列的通项公式；

    （Ⅲ）用数学归纳法证明你的猜想.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．

    （Ⅰ）求椭圆C的方程；

    （Ⅱ）设是过原点的直线，是与n垂直相交于点，与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知函数（、为常数）.若函数与的图象在处相切，

    （Ⅰ）求的解析式；

    （Ⅱ）设函数 ，若在上的最小值为，求实数的值;

    （Ⅲ）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析