四川省2018届高三二诊（3月）模拟考试数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 4 题，中等难度 14 题，困难题 5 题。总体难度: 中等

单选题共 12 题

设集合，，则(　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知复数为纯虚数，且，则(　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
若向量，，则的面积为(　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 1　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是(　　 )
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关
C. 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D. 倾向选择生育二的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

难度: 简单查看答案及解析
一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是(　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
按照如图所示的程序框图，若输入的为2018，为8，则输出的结果为(　　 )
A. 2473　　 B. 3742　　 C. 4106　　 D. 6014

难度: 中等查看答案及解析
若实数满足，则的取值范围是(　　 )
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则(　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
的展开式中的系数是(　　 )
A. 2　　 B. 1　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
等差数列各项都为正数，且其前项之和为45，设，其中，若中的最小项为，则的公差不能为(　　 )
A. 1　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析
已知圆，考虑下列命题：①圆上的点到的距离的最小值为；②圆上存在点到点的距离与到直线的距离相等；③已知点，在圆上存在一点，使得以为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为(　　 )
A. 0　　 B. 1　　 C. 2　　 D. 3

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，设，若对任意的正整数，在区间内存在个数，，…，使得不等式成立，则的最大值为(　　 )
A. 4　　 B. 5　　 C. 6　　 D. 7

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

若实数满足，则的最大值为_________.

难度: 简单查看答案及解析
若双曲线的渐近线与圆相切，则________________.

难度: 简单查看答案及解析
设函数，已知常数且满足，，则关于的不等式的解集为________.

难度: 困难查看答案及解析
祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下)，考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图，称为“椭球体”)，请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于________.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

已知等比数列满足，其中，为的前项和，.
(1)求；
(2)设，若，恒成立，求的最小值.

难度: 中等查看答案及解析
随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的拆线图.
（1）由拆线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系．求关于的线性回归方程，并预测公司2017年4月份（即时）的市场占有率；
（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：

车型　　报废年限

1年

2年

3年

4年

总计

20

35

35

10

100

10

30

40

20

100

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
（参考公式：回归直线方程为，其中）

难度: 中等查看答案及解析
如图，四棱锥中，侧棱垂直于底面，，，为的中点，平行于，平行于面，.
(1)求的长；
(2)求二面角的余弦值.

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆的左右顶点分别为、，为椭圆上不同于，的任意一点.
(1)求的正切的最大值并说明理由；
(2)设为椭圆的右焦点，直线与椭圆的另一交点为，的中点为，若，求直线的斜率.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在两个极值点且满足，求的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，抛物线的方程为.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是 (为参数)，与交于两点，，求的倾斜角.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的解集为，求的值.

难度: 中等查看答案及解析

车型　　报废年限	1年	2年	3年	4年	总计
	20	35	35	10	100
	10	30	40	20	100