2014-2015学年江苏高考南通密卷一数学试卷（解析版）

设，，其中是虚数单位，则　　 ．

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已知集合，．若，则实数的取值范围是　　 ．

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为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木中，底部周长不小于的有　　 株．

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设向量，，且，若，则实数　　 ．

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如图所示的流程图的运行结果是　　 ．

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将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为　　 ．

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设等差数列的前项和为，若，． 当取最大值时，　　 ．

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已知，且，则　　 ．

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若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆

相交的概率为 　 ．

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设函数的值域是，则实数的取值范围为　　 ．

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已知函数满足：当时，，当时，．若在区间

内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是　　 ．

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设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引

圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是　　 ．

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设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为 ．

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设函数，则满足的的取值范围是　　 ．

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（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）设，为垂足，若，，求的值．

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（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．

（1）求证：平面平面；

（2）若∥平面，求证：为的中点．

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（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．

（1）求大学与站的距离；

（2）求铁路段的长．

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（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；

（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．

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（本小题满分16分）已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．

（1）确定与的关系；

（2）若，试讨论函数的单调性；

（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．

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（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足．

（1）当时，

①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列；

②若数列是等差数列，求的值；

（2）当时，若数列是等差数列，，且，，

求实数的取值范围．

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（选修4-1：几何证明选讲）

如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．

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（选修4-2：矩阵与变换）

若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．

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（选修4-4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的

极坐标方程．

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（选修4-5：不等式选讲）

设均为正数，．求证：．

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（本小题满分10分）已知数列满足，．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设，求证：当，时，．

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（本小题满分10分）如图，已知点，直线，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、．

①求证：、、三点的横坐标成等差数列；

②若，，求的值．

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