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试卷详情
本卷共 18 题，其中：
单选题 8 题，填空题 6 题，解答题 4 题
简单题 6 题，中等难度 12 题。总体难度: 简单
单选题 共 8 题

  1. 下列复数中，与的乘积为实数的是

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知函数，则下面各式中正确的是

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 函数，，在的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. A. 1　　 B. 　　 C. 　　 D. 10

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知曲线：①　 ② ③④.上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是

    A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为

    A. 55　　 B. 90　　 C. 425　　 D. 512

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 函数的部分图像可能是

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 函数， ，其中为常数.则下面结论中错误的

    A. 当函数只有一个零点时，函数也只有一个零点

    B. 当函数有两个不同的极值点时，一定有两个不同的零点

    C. ，使得函数的零点也是函数的零点

    D. ，使得函数的极值点也是函数的极值点

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 6 题

  1. 复数在复平面上对应的点位于第____象限，且____.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 曲线在点处的切线与平行，则____.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 计算____，____，请你根据上面的计算结果，猜想____.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 函数在区间上存在极值，则的取值范围是

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 不等式的解集为____.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知函数和点，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则直线的斜率等于____.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 4 题

  1. 如图，曲边三角形中，线段是直线的一部分，曲线段是抛物线的一部分.矩形的顶点分别在线段，曲线段和轴上.设点，记矩形的面积为.

    （Ⅰ）求函数的解析式并指明定义域；

    （Ⅱ）求函数的最大值.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，曲边三角形中，线段是直线的一部分，曲线段是抛物线的一部分.矩形的顶点分别在线段，曲线段和轴上.设点，记矩形的面积为.

    （Ⅰ）求函数的解析式并指明定义域；

    （Ⅱ）求函数的最大值.

    【答案】(Ⅰ) 定义域为;(Ⅱ) 在时，取得最大值.

    【解析】试题分析：( I )根据点在直线上，在抛物线上，结合图形，可得点，从而可得函数的解析式，联立直线与抛物线的方程，即可求得定义域；（II）对函数求导，利用导数研究函数的单调性，从而可求得函数的最大值.

    ( I )令，

    解得 （舍）

    因为点

    所以 ，

    其定义域为

    （II）因为

    令，得，（舍）

    所以的变化情况如下表

    0

    极大

    因为是函数在上的唯一的一个极大值，

    所以在时，函数取得最大值.

    点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

    【题型】解答题
    【结束】
    16

    在各项均为正数的数列中， 且.

    （Ⅰ）当时，求的值；

    （Ⅱ）求证：当时，.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 在各项均为正数的数列中， 且.

    （Ⅰ）当时，求的值；

    （Ⅱ）求证：当时，.

    【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析.

    【解析】试题分析：（Ⅰ）根据及，可求得的值，同理即可求得的值；（Ⅱ）利用分析法，要证，只需证 ，即证，然后结合均值不等式即可证明.

    （Ⅰ）因为，

    所以，

    所以，

    解得，

    同理解得.

    （Ⅱ）证明：要证 时，，

    只需证 ，

    只需证 ，只需证 .

    只需证 ，

    只需证 ，

    根据均值定理，

    所以原命题成立.

    【题型】解答题
    【结束】
    17

    已知曲线在点处的切线为，其中.

    （Ⅰ）求直线的方程；

    （Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知曲线在点处的切线为，其中.

    （Ⅰ）求直线的方程；

    （Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

    【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.

    【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出，，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.

    （I）因为

    所以直线的斜率

    所以直线的方程为

    化简得到

    (Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得

    所以

    所以

    令

    所以，

    令，得到得，

    当时，的变化情况如下表

    0

    0

    极大

    极小

    因为时，，而

    （或者说：时，），

    所以在上有一个零点

    而时，，所以在上只有一个零点

    又在上没有零点

    所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.

    【题型】解答题
    【结束】
    18

    已知函数，其中常数.

    （Ⅰ）若函数为单调函数，求实数的最大值；

    （Ⅱ）如果函数只有一个零点，求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析