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本卷共 22 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 16 题，中等难度 6 题。总体难度: 简单
选择题 共 12 题

  1. 设是虚数单位，若复数，则（　　 ）

    A．　　　　　 　　　 B．　　　　　　　　 　　　 C．3　　　　　　 　　　 D．5

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（　　 ）

    A．与具有正的线性相关关系

    B．回归直线过样本点的中心

    C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

    D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录比较，提出假设“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算，则下列说法正确的是（　　 ）

    A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%

    B．若某人未使用疫苗则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1

    C．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”

    D．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 下列使用类比推理所得结论正确的是（　　 ）

    A．直线，若，则．类推出：向量，若，则

    B．同一平面内，直线，若，则．类推出：空间中，直线，若，则．

    C．实数，若方程有实根，则．类推出：复数，若方程有实数根，则．

    D．以点为圆心，为半径的圆的方程是．类推出：以点为球心，为半径的球的方程是．

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（　　 ）

    A．假设三内角都不大于60度　　　　　 　　　

    B．假设三内角都大于60度

    C．假设三内角至多有一个大于60度　 　　　

    D．假设三内角至多有两个大于60度

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为（　　 ）

    A．　　　　　 　　　 B．2　　　　　　 　　　 C．　　　　 　　　 D．

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 在平面上，若两个正三角形的边长的比是1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比是1:2，则它们的体积比为（　　 ）

    A．1:4　　　　　　　　 　　　 B．1:8　　　　　　 　　　 C．1:2　　　 　　　 D．1:3

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 如果实数满足，则的最小值是（　　 ）

    A．4　　　　　　　 　　　 B．6　　　　　　　　 　　　 C．8　　　　　　　 　　　 D．10

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　 ）

    A．　 　　　

    B．　　　　　　　　

    C．　　　　　　　

    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是（　　 ）

    A．　　　　　　　

    B．　　　　　　

    C．　　　　　

    D．

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 已知，在区间上任取三个数，均存在以为边长的三角形，则的取值范围是（　　 ）

    A．　　　 　　　 B．　　　　 　　　 C．　　　　 　　　 D．

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则（　　 ）

    A．　　　　　 　　　 B．　　　　　　 　　　 C．　　　　 　　　 D．

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

    气温/℃

    18

    13

    10

    -1

    用电量/千瓦时

    24

    34

    38

    64

    由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为　　　　　　　　　 ．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 在极坐标系中，点到直线的距离为　　　　　　　　 ．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 关于不等式的解集是　　　　　　　　 ．

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 将全体正整数排成一个三角形数阵

    按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为　　　　　　　　　 ．

    难度: 简单查看答案及解析

解答题 共 6 题

  1. 已知函数．

    （1）解不等式；

    （2）若存在实数使得，求实数的取值范围

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 在直角坐标系中，已知曲线的方程为，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

    （1）将曲线上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

    （2）设为曲线上任意一点，求点到直线的最大距离．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. “奶茶妹妹”对某段时间的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价元和销售量杯之间的一组数据如下表所示：

    价格

    5

    5.5

    6.5

    7

    销售量

    12

    10

    6

    4

    通过分析，发现销售量对奶茶的价格具有线性相关关系．

    （1）求销售量对奶茶的价格的回归直线方程；

    （2）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？

    注：在回归直线中，．

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 某大学餐饮中心为了了解新生的习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查调查结果如下表所示：

    喜欢甜品

    不喜欢甜品

    合计

    南方学生

    60

    20

    80

    北方学生

    10

    10

    20

    合计

    70

    30

    100

    （1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

    （2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

    参考数据：

    0.10

    0.050

    0.025

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    10.828

    （参考公式：，其中）

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知函数．

    （1）计算及的值；

    （2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；

    （3）求值：．

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知函数．

    （1）求的单调区间及最小值；

    （2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围．

    难度: 中等查看答案及解析