2015-2016学年甘肃省高二上期末文科数学试卷（解析版）

下列说法正确的是　 （　　 ）

A．命题“若，则”的否命题为“若，则”

B．命题“”的否定是“”

C．命题“若，则”的逆否命题为假命题

D．命题“若，则”的逆命题为假命题

难度: 简单查看答案及解析

设函数在处可导，则等于（　　　 ）

A． 　　 　　　 B．　　　　 C．　 　　　　 　　 D．

难度: 中等查看答案及解析

已知命题：若，则；命题：若，则．在命题①；②；③ ；④中，真命题是 （　 　 ）

A．①③　　 B．①④　　 C．②③　　 D．②④

难度: 简单查看答案及解析

已知函数 ，其中为实数，为的导函数，若 ，则的值为（　 　　 ）

A． 　　 　　　 B．　　　　 C．　 　　　　 　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

5．“”是“函数在区间内单调递增”的 （ 　 ）

A．充分不必要条件　　　 　　　　　　　　 B．必要不充分条件　　

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析

“”是“函数在区间内单调递增”的 （ 　 ）

A．充分不必要条件　　　 　　　　　　　　 B．必要不充分条件　　

C．充要条件　 　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

当时，在区间内单调递增，当时,

结合二次函数的图像可得函数在区间内单调递增，

当时，函数图像如图所示，

在区间内有增有减

考点：二次函数及充要条件．

【题型】选择题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

已知函数的图象在点的切线过点，则的值为（　　　 ）

A． 　　 　　　 B．　　　　 C．　 　　　　 　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

已知函数的图象在点的切线过点，则的值为（　　　 ）

A． 　　 　　　 B．　　　　 C．　 　　　　 　　 D．

【答案】A

【解析】

所以当，，函数的图象在点的切线斜率，又因为切线过点，，所以，所以解得，所以答案为A．

考点：导数的几何意义．

【题型】选择题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则（　 　　 ）

A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

难度: 中等查看答案及解析

过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则（　 　　 ）

A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

【答案】D

【解析】

双曲线的右焦点为（2,0），其渐近线方程为，双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，可得．

考点：双曲线的性质．

【题型】选择题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

若动圆过定点，且在轴上截得弦的长为，则动圆圆心的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　　 ）

A．　　　 　　　　　　　　　　 B．

C．　　　 　　　　　　　　　　　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

若动圆过定点，且在轴上截得弦的长为，则动圆圆心的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　　 ）

A．　　　 　　　　　　　　　　 B．

C．　　　 　　　　　　　　　　　　 D．

【答案】C

【解析】

设动圆圆心，过点作轴，垂足为则,

所以

，化简得，所以答案为C．

考点：直线与圆的位置关系．

【题型】选择题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

过点作斜率为的直线与椭圆: 相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 （　　　　 ）

A．　　　　　 B．　　　 　　　　　　 C．　　　 　　　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

过点作斜率为的直线与椭圆: 相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 （　　　　 ）

A．　　　　　 B．　　　 　　　　　　 C．　　　 　　　　 D．

【答案】B

【解析】

试题分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=2，y1+y2=1，又因为，，将A,B两点代入椭圆得，，两式相减可得，，所以所以

考点：直线与圆锥曲线的关系．

【方法点睛】本题考查考生的运算求解能力，属中档题．正确应用点差法是本题的关键，注意解题方法的积累．与弦的中点的问题常用到点差法，在椭圆中，设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，，两式相减可得，，将弦的中点代入即可求得直线的斜率．本题中利用直线的斜率求得的关系，从而求得椭圆的标准方程．

考点：椭圆的离心率．

【题型】选择题
【适用】容易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

设曲线在点处的切线与直线垂直，则＝　　 （ ）

A．　 　　 B．　　　　　　　　 C． 　　　　　　　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

设曲线在点处的切线与直线垂直，则＝　　 （ ）

A．　 　　 B．　　　　　　　　 C． 　　　　　　　　 D．

【答案】A

【解析】

因为，所以，在点处的切线斜率，直线的斜率，与直线垂直的斜率，所以，解得．

考点：导数的几何意义．

【题型】选择题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

设椭圆：的左右焦点分别为，，过点的直线与交于点，．若，且，则的值为（　　　　 ）

A．　　　　 B．　　　　　　 　 C．　　　　　　 D．

难度: 简单查看答案及解析

设椭圆：的左右焦点分别为，，过点的直线与交于点，．若，且，则的值为（　　　　 ）

A．　　　　 B．　　　　　　 　 C．　　　　　　 D．

【答案】D

【解析】

由题意，则，又因为，在三角形中，在三角形中，因为，所以，所以

，化简得，代入消去得．

考点：椭圆的性质及余弦定理的应用．

【题型】选择题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则　　　　　 ．

难度: 简单查看答案及解析

若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则　　　　　 ．

【答案】　　　　

【解析】

双曲线的一个左焦点，所以抛物线的准线方程为，所以．

考点：双曲线及抛物线的性质．

【方法点睛】（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

【题型】填空题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

设函数在内可导，且，则 __________．

难度: 简单查看答案及解析

设函数在内可导，且，则 __________．

【答案】2

【解析】

因为，令，则，所以．

考点：导数的运算．

【题型】填空题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”。四位歌手的话只有两位是真的，则获奖的歌手是_____．

难度: 中等查看答案及解析

．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”。四位歌手的话只有两位是真的，则获奖的歌手是_____．

【答案】丙

【解析】

若甲是获奖的歌手，则都说的是假话，不合题意，如乙是获奖的歌手，则甲，乙，丁都说的是真话，丙说假话，不合题意，如丁是获奖的歌手，则甲，丙，丁都说的是真话，乙说假话，不合题意，所以获奖的歌手是丙．

考点：简单的逻辑词．

【题型】填空题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=　　　　　 ．

难度: 简单查看答案及解析

已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=　　　　　 ．

【答案】3

【解析】

设到准线为的距离为，由抛物线的定义可得，因为若，所以所以直线PF的斜率为，因为F（2，0）,

所以直线PF的方程与联立可得x=1,所以

考点：抛物线的性质．

【题型】填空题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

给定两个命题：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根．如果为假命题，为真命题，求实数的取值范围．

难度: 简单查看答案及解析

给定两个命题：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根．如果为假命题，为真命题，求实数的取值范围．

【答案】（－∞，0）∪（，4）

【解析】

先求出，为真命题时的取值范围，由为假命题，为真命题可得，一真一假进行分类讨论求出的取值范围

命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，则“a＝0”，或“a>0且a2－4a<0”．解得0≤a<4．

命题：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ＝1－4a≥0，得a≤．

因为P∧为假命题，P∨为真命题，则P，有且仅有一个为真命题，

故∧为真命题，或P∧为真命题，则或

解得a<0或<a<4．所以实数a的取值范围是（－∞，0）∪（，4）．

考点：简单的逻辑用语的应用 ．

【方法点睛】（1）正确理解逻辑连接词“或”、“且”，“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑连接词进行命题结构与真假的判断，其步骤为:①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假；（2）解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算；（3）注意或为真，且为假说明一真一假．

【题型】解答题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

设函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ） 求的解析式；

（Ⅱ） 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值．

难度: 中等查看答案及解析

设函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ） 求的解析式；

（Ⅱ） 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ） 由题意点即在曲线，又在切线上，可得，所以曲线在点处切线的斜率为3，对函数求导，列出关于的方程组，从而求出函数的解析式；

（Ⅱ）先设P（x0，y0）为曲线上任一点，得曲线在点P（x0，y0）处的切线方程，求出切线方程与直线和直线的交点坐标，从而得到点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值为4

（Ⅰ）方程3x－y－4＝0可化为y＝3x－4，

当x＝1时，y＝．又f′（x）＝a＋，于是解得

故　　

（Ⅱ） 证明：设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（1＋）（x－x0），即y－（x0－）＝（1＋）（x－x0）．

令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为

S＝|2x0|＝4．

故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，

且此定值为4．　

考点：导数的应用，三角形面积的求法．

【易错点睛】（1）本题利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,一般的“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标求斜率．对本题一定要注意点切线上，又在曲线上，联立方程组，求出的值，得到函数的解析式；（2）对于未告诉切点坐标的问题，应先设出切点坐标，根据题意，求出切点坐标，写出点斜式方程，注意如果只是求切线方程的，最后一定化成一般式．

【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

如图，已知四边形内接于抛物线，点，平行于轴，平行于该抛物线在点处的切线，．

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求四边形的面积．

难度: 中等查看答案及解析

如图，已知四边形内接于抛物线，点，平行于轴，平行于该抛物线在点处的切线，．

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求四边形的面积．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）36

【解析】

（Ⅰ）先设出设，两点的坐标；由题意设切线的方程与抛物线方程联立，得到关于x的二次函数，由判别式为0，从而求出的值，再设直线BD的方程与抛物线方程联立为与抛物线方程联立关于x的二次函数，由根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的关系，再由，得到两斜率之间的关系，求出m的值，则可得直线BD的方程；

（Ⅱ）将 四边形面积转化成两三角形的面积和即可求得

（Ⅰ）由，知，设，；

由题意知，过点的切线斜率存在，故设切线的方程为

联立

从而　

从而设直线BD的方程为

则

又因为; 所以

即　　　　 故直线BD的方程为　　

（Ⅱ）解方程，可得 ，

所以　

点A到BD的距离为；点C到BD的距离为

另解, 四边形面积

．

考点：直线与抛物线的关系及面积的计算．

【方法点睛】（1）解决直线和抛物线综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．

（2）求多边形的面积，可以分成易求的简单图形的面积和．

【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

已知椭圆的离心率，焦距为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点．问是否存在常数，使得以为直径的圆过坐标原点,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

难度: 极难查看答案及解析