如图,已知四边形内接于抛物线,点,平行于轴,平行于该抛物线在点处的切线,.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求四边形的面积.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)36
【解析】
(Ⅰ)先设出设,两点的坐标;由题意设切线的方程与抛物线方程联立,得到关于x的二次函数,由判别式为0,从而求出的值,再设直线BD的方程与抛物线方程联立为与抛物线方程联立关于x的二次函数,由根与系数的关系,得到两根之和与两根之积的关系,再由,得到两斜率之间的关系,求出m的值,则可得直线BD的方程;
(Ⅱ)将 四边形面积转化成两三角形的面积和即可求得
(Ⅰ)由,知,设,;
由题意知,过点的切线斜率存在,故设切线的方程为
联立
从而
从而设直线BD的方程为
则
又因为; 所以
即 故直线BD的方程为
(Ⅱ)解方程,可得 ,
所以
点A到BD的距离为;点C到BD的距离为
另解, 四边形面积
.
考点:直线与抛物线的关系及面积的计算.
【方法点睛】(1)解决直线和抛物线综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.
(2)求多边形的面积,可以分成易求的简单图形的面积和.
【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
已知椭圆的离心率,焦距为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于两点.问是否存在常数,使得以为直径的圆过坐标原点,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
高二数学解答题极难题
如图,已知四边形内接于抛物线,点,平行于轴,平行于该抛物线在点处的切线,.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求四边形的面积.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)36
【解析】
(Ⅰ)先设出设,两点的坐标;由题意设切线的方程与抛物线方程联立,得到关于x的二次函数,由判别式为0,从而求出的值,再设直线BD的方程与抛物线方程联立为与抛物线方程联立关于x的二次函数,由根与系数的关系,得到两根之和与两根之积的关系,再由,得到两斜率之间的关系,求出m的值,则可得直线BD的方程;
(Ⅱ)将 四边形面积转化成两三角形的面积和即可求得
(Ⅰ)由,知,设,;
由题意知,过点的切线斜率存在,故设切线的方程为
联立
从而
从而设直线BD的方程为
则
又因为; 所以
即 故直线BD的方程为
(Ⅱ)解方程,可得 ,
所以
点A到BD的距离为;点C到BD的距离为
另解, 四边形面积
.
考点:直线与抛物线的关系及面积的计算.
【方法点睛】(1)解决直线和抛物线综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.
(2)求多边形的面积,可以分成易求的简单图形的面积和.
【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
已知椭圆的离心率,焦距为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于两点.问是否存在常数,使得以为直径的圆过坐标原点,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
高二数学解答题极难题查看答案及解析
如图,已知四边形内接于抛物线,点,平行于轴,平行于该抛物线在点处的切线,.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求四边形的面积.
高二数学解答题困难题查看答案及解析
如图,设为抛物线上不同的四点,且点关于轴对称,平行于该抛物线在点处的切线.
(1)求证:直线与直线的倾斜角互补;
(2)若,且的面积为16,求直线的方程.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图,已知直线()与抛物线:和圆:都相切,是的焦点.
(Ⅰ)求与的值;
(Ⅱ)设是上的一动点,以为切点作抛物线的切线,直线交轴于点,以、为邻边作平行四边形,证明:点在一条定直线上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记点所在的定直线为, 直线与轴交点为,连接交抛物线于、两点,求△的面积的取值范围.
【解析】第一问中利用圆: 的圆心为,半径.由题设圆心到直线的距离.
即,解得(舍去)
设与抛物线的相切点为,又,得,.
代入直线方程得:,∴ 所以,
第二问中,由(Ⅰ)知抛物线方程为,焦点. ………………(2分)
设,由(Ⅰ)知以为切点的切线的方程为.
令,得切线交轴的点坐标为 所以,, ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形
∴ 因为是定点,所以点在定直线
第三问中,设直线,代入得结合韦达定理得到。
【解析】
(Ⅰ)由已知,圆: 的圆心为,半径.由题设圆心到直线的距离.
即,解得(舍去). …………………(2分)
设与抛物线的相切点为,又,得,.
代入直线方程得:高二数学解答题困难题查看答案及解析
如图,已知四边形是椭圆的内接平行四边形,且,分别经过椭圆的焦点,.
(Ⅰ)若直线的方程为,求的长;
(Ⅱ)求平行四边形面积的最大值.
高二数学解答题简单题查看答案及解析
如图所示,已知点,过点作直线、与圆:和抛物线:都相切.
(1)求抛物线的两切线的方程;
(2)设抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线相交于、两点,与抛物线的准线交于点(其中点靠近点),且,求与的面积之比.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知平行四边形的三个顶点坐标:.
(1)求边所在直线的方程(结果写成一般式);
(2)证明平行四边形为矩形,并求其面积.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为.
(1)若点的坐标为,求切线的方程;
(2)求四边形面积的最小值;
(3)求证:经过三点的圆必过定点,并求出所有定点坐标.
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