已知抛物线C：在点A处的切线l与直线l'：y=x+1平行．（1）求A点坐标和直线l的方程；...

高二数学解答题中等难度题查看答案及解析

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心．

（1）求抛物线的标准方程和准线方程；

（2）若直线为抛物线的切线，证明：圆心到直线的距离恒大于．

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如图，已知四边形内接于抛物线，点，平行于轴，平行于该抛物线在点处的切线，．

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求四边形的面积．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）36

【解析】

（Ⅰ）先设出设，两点的坐标；由题意设切线的方程与抛物线方程联立，得到关于x的二次函数，由判别式为0，从而求出的值，再设直线BD的方程与抛物线方程联立为与抛物线方程联立关于x的二次函数，由根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的关系，再由，得到两斜率之间的关系，求出m的值，则可得直线BD的方程；

（Ⅱ）将 四边形面积转化成两三角形的面积和即可求得

（Ⅰ）由，知，设，；

由题意知，过点的切线斜率存在，故设切线的方程为

联立

从而　

从而设直线BD的方程为

则

又因为; 所以

即　　　　 故直线BD的方程为　　

（Ⅱ）解方程，可得 ，

所以　

点A到BD的距离为；点C到BD的距离为

另解, 四边形面积

．

考点：直线与抛物线的关系及面积的计算．

【方法点睛】（1）解决直线和抛物线综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．

（2）求多边形的面积，可以分成易求的简单图形的面积和．

【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

已知椭圆的离心率，焦距为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点．问是否存在常数，使得以为直径的圆过坐标原点,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

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抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程．

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已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且线段被直线平分.

（1）求的值；

（2）直线是抛物线的切线，为切点，且，求以为圆心且与相切的圆的标准方程.

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如图，已知四边形内接于抛物线，点，平行于轴，平行于该抛物线在点处的切线，．

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求四边形的面积．

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已知圆：,（为坐标原点），直线:.抛物线:．

(Ⅰ）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点为.求四边形的面积最小值；

(Ⅱ）若圆过点，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦，试探究 运动时，弦长是否为定值？并说明理由；

(Ⅲ) 过点的直线分别与圆交于点两点，若,问直线是否过定点？并说明理由．

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已知定点是圆为圆心)上的动点，的垂直平分线与交于点.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）直线与轨迹交于两点，与抛物线交于两点，且抛物线在点处的切线垂直相交于，设点到直线的距离为，试问：是否存在直线，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

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如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．

（1）求证：三点的横坐标成等差数列；

（2）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程。

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（本小题满分10分）

（平行班做）已知抛物线 y =x2 －4与直线y = x + 2。

（1）求两曲线的交点；

（2）求抛物线在交点处的切线方程。

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