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本卷共 20 题，其中：
填空题 14 题，解答题 6 题
简单题 12 题，中等难度 7 题，困难题 1 题。总体难度: 简单
填空题 共 14 题

  1. 若复数满足（为虚数单位），则复数的实部是_____．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为，那么 ______．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第_____象限.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 设,是两个不共线的空间向量，若，，，且三点共线，则实数的值为_______．

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______．

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项积公式_______．

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为_______．

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 如图，在直三棱柱中，，，点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为_______．

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第行的左起第个数为______．

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie　 nao）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为_____．

    难度: 中等查看答案及解析

  13. 如图，已知正三棱柱中，，分别为的中点，点在直线上且满足若平面与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为______．

    难度: 中等查看答案及解析

  14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_______．

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 6 题

  1. 已知为虚数单位，复数, .

    （1）若为实数，求的值；

    （2）若为纯虚数，求.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知矩阵 ， .

    （1）求；

    （2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知数列满足，，，

    （1）求的值并猜想数列的通项公式；

    （2）用数学归纳法证明你的猜想.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点.

    （1）求证：平面；

    （2）若点为棱上一点，且平面平面， 求证：

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 如图，在正三棱柱中，所有棱长都等于.

    （1）当点是的中点时，

    ①求异面直线和所成角的余弦值；

    ②求二面角的正弦值；

    （2）当点在线段上（包括两个端点）运动时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. （1）是否存在实数，使得等式 对于一切正整数都成立？若存在，求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.

    （2）求证：对任意的，.

    难度: 中等查看答案及解析