已知集合, ,则( )
A. B. C. D.
难度: 简单查看答案及解析
设复数,则( )
A. 4 B. 2 C. D. 1
难度: 简单查看答案及解析
设等差数列的前项和为,若, ,则数列的公差为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
难度: 简单查看答案及解析
我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”,该图是由四个全等的直角三角形组成,它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点,则此点取自小正方形内的概率是( )
A. B. C. D.
难度: 简单查看答案及解析
设等比数列的各项均为正数,其前项和为,则“”是“数列是递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
难度: 简单查看答案及解析
已知直线与抛物线: 相交于, 两点,若线段的中点为,则直线的方程为( )
A. B. C. D.
难度: 简单查看答案及解析
已知函数,不等式的解集为( )
A. B. C. D.
难度: 简单查看答案及解析
已知双曲线: 的右焦点到渐近线的距离为4,且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,则这个点到双曲线的左焦点的距离为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
难度: 中等查看答案及解析
执行如图所示的程序框图,若输出的结果为1.5,则输入的值应为( )
A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 9
难度: 中等查看答案及解析
在中, 边上的中线的长为2, ,则( )
A. 1 B. 2 C. -2 D. -1
难度: 简单查看答案及解析
在中, 边上的中线的长为2, ,则( )
A. 1 B. 2 C. -2 D. -1
【答案】C
【解析】,故选C.
【题型】单选题
【结束】
11
如图是某几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,正视图为等腰直角三角形,若该几何体的各个顶点都在同一个球面上,则这个球的体积与该几何体的体积的比为( )
A. B. C. D.
难度: 困难查看答案及解析
如图是某几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,正视图为等腰直角三角形,若该几何体的各个顶点都在同一个球面上,则这个球的体积与该几何体的体积的比为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设底边长和高为,则三棱锥的体积为.底面外接圆半径,故几何体外接球的半径为,体积为.故比值为.故选C.
【题型】单选题
【结束】
12
已知函数恰有3个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
难度: 困难查看答案及解析
已知函数恰有3个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,在上单调递减.若,则在上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故.故需当时,且,使得第一段有一个零点,故.对于第二段, ,故需在区间有两个零点, ,故在上递增,在上递减,所以,解得.综上所述,
【点睛】本小题主要考查函数的图象与性质,考查含有参数的分段函数零点问题的求解策略,考查了利用导数研究函数的单调区间,极值,最值等基本问题.其中用到了多种方法,首先对于第一段函数的分析利用了分离常数法,且直接看出函数的单调性.第二段函数利用的是导数来研究图像与性质.
【题型】单选题
【结束】
13
设, 满足约束条件,则的最大值为_______.
难度: 中等查看答案及解析
设, 满足约束条件,则的最大值为_______.
【答案】4
【解析】,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.
[点睛]本小题主要考查线性规划的基本问题,考查了指数的运算. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤:①画出直线(有等号画实线,无等号画虚线);②当时,取原点作为特殊点,判断原点所在的平面区域;当时,另取一特殊点判断;③确定要画不等式所表示的平面区域.
【题型】填空题
【结束】
14
已知数列的前项和公式为,若,则数列的前项和__________.
难度: 中等查看答案及解析
已知数列的前项和公式为,若,则数列的前项和__________.
【答案】
【解析】依题意得,故,所以是首项为,公比为的等比数列,故.
[点睛] 已知数列的前项和,求数列的通项公式,其求解过程分为三步:
(1)先利用求出;(2)用替换中的得到一个新的关系,利用 便可求出当时的表达式;(3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写.
【题型】填空题
【结束】
15
已知, , ,则的最小值为__________.
难度: 中等查看答案及解析
已知, , ,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由得,故.
【题型】填空题
【结束】
16
若函数 在开区间内,既有最大值又有最小值,则正实数的取值范围为_______.
难度: 中等查看答案及解析
若函数 在开区间内,既有最大值又有最小值,则正实数的取值范围为_______.
【答案】
【解析】,其中, ,故,解得,故,解得.
【题型】填空题
【结束】
17
在中,角, , 所对的边分别为, , ,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)已知, 的面积为,求的周长.
难度: 中等查看答案及解析
在中,角, , 所对的边分别为, , ,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)已知, 的面积为,求的周长.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).
【解析】【试题分析】(I)利用正弦定理和三角形内角和定理化简已知,可求得的值,进而求得的大小.(II)利用余弦定理和三角形的面积公式列方程组求解的的值,进而求得三角形周长.
【试题解析】
(Ⅰ)由及正弦定理得, ,
,∴,
又∵,∴.
又∵,∴.
(Ⅱ)由, ,根据余弦定理得,
由的面积为,得.
所以 ,得,
所以周长.
【题型】解答题
【结束】
18
为促进农业发展,加快农村建设,某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”.为了解大棚的面积与年利润之间的关系,随机抽取了其中的7个大棚,并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表:
大棚面积(亩) | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
年利润(万元) | 6 | 7 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
由所给数据的散点图可以看出,各样本点都分布在一条直线附近,并且与有很强的线性相关关系.
(Ⅰ)求关于的线性回归方程;
(Ⅱ)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0亩,估计小明家的大棚当年的利润为多少;
(Ⅲ)另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润(单位:万元),其中无丝豆为:1.5,1.7,2.1,2.2,2.5;彩椒为:1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,请分析种植哪种蔬菜比较好?
参考数据: , .
参考公式: , .
难度: 中等查看答案及解析
为促进农业发展,加快农村建设,某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”.为了解大棚的面积与年利润之间的关系,随机抽取了其中的7个大棚,并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表:
大棚面积(亩) | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
年利润(万元) | 6 | 7 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
由所给数据的散点图可以看出,各样本点都分布在一条直线附近,并且与有很强的线性相关关系.
(Ⅰ)求关于的线性回归方程;
(Ⅱ)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0亩,估计小明家的大棚当年的利润为多少;
(Ⅲ)另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润(单位:万元),其中无丝豆为:1.5,1.7,2.1,2.2,2.5;彩椒为:1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,请分析种植哪种蔬菜比较好?
参考数据: , .
参考公式: , .
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)大约为11.442万元.(Ⅲ)种植彩椒比较好.
【解析】【试题分析】(I)利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程.(II)将代入求得当年利润的估计值.(III)通过计算平均数和方差比较种植哪种蔬菜好.
【试题解析】
(Ⅰ), , ,
,
,
那么回归方程为: .
(Ⅱ)将代入方程得
,即小明家的“超级大棚”当年的利润大约为11.442万元.
(Ⅲ)近5年来,无丝豆亩平均利润的平均数为,
方差 .
彩椒亩平均利润的平均数为,
方差为 .
因为, ,∴种植彩椒比较好.
【题型】解答题
【结束】
19
如图,四棱锥中, 为等边三角形,且平面平面, , , .
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.
难度: 中等查看答案及解析
如图,四棱锥中, 为等边三角形,且平面平面, , , .
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】【试题分析】(I) 取的中点为,连接,.利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得,由此证得平面,故,故.(II) 可知是棱锥的高,利用体积公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得的值,进而求得面积.
【试题解析】
证明:(Ⅰ)取的中点为,连接,,
∵为等边三角形,∴.
底面中,可得四边形为矩形,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴.
又,所以.
(Ⅱ)由面面,,
∴平面,所以为棱锥的高,
由,知,
,
∴.
由(Ⅰ)知,,∴.
.
由,可知平面,∴,
因此.
在中,,
取的中点,连结,则,,
∴ .
所以棱锥的侧面积为难度: 中等查看答案及解析
已知圆经过椭圆: 的两个焦点和两个顶点,点, , 是椭圆上的两点,它们在轴两侧,且的平分线在轴上, .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明:直线过定点.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)直线过定点.
【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 ,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.
【试题解析】
(Ⅰ)圆与轴交点即为椭圆的焦点,圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点,所以, .从而,
因此椭圆的方程为: .
(Ⅱ)设直线的方程为.
由,消去得.
设, ,则, .
直线的斜率 ;
直线的斜率 .
.
由的平分线在轴上,得.又因为,所以,
所以.
因此,直线过定点.
[点睛]本小题主要考查椭圆方程的求解,考查圆与椭圆的位置关系,考查直线与圆锥曲线位置关系. 涉及直线与椭圆的基本题型有:(1)位置关系的判断.(2)弦长、弦中点问题.(3)轨迹问题.(4)定值、最值及参数范围问题.(5)存在性问题.常用思想方法和技巧有:(1)设而不求.(2)坐标法.(3)根与系数关系.
【题型】解答题
【结束】
21
已知函数(,且).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在上的最大值.
难度: 中等查看答案及解析
已知函数(,且).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为,单调减区间为.(Ⅱ)当时, ;当时, .
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得在上单调递减,在上单调递增,由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设 ,则.
∵, ,∴在上单调递增,
从而得在上单调递增,又∵,
∴当时, ,当时, ,
因此, 的单调增区间为,单调减区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上单调递减,在上单调递增,
由此可知.
∵, ,
∴.
设,
则 .
∵当时, ,∴在上单调递增.
又∵,∴当时, ;当时, .
①当时, ,即,这时, ;
②当时, ,即,这时, .
综上, 在上的最大值为:当时, ;
当时, .
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数
难度: 中等查看答案及解析
选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为 .
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与轴和轴的交点分别为,为圆上的任意一点,求的取值范围.
【答案】(1);.
(2).
【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标, 设点,代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.
【试题解析】
(Ⅰ)圆的参数方程为(为参数).
直线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由直线的方程可得点,点.
设点,则 .
.
由(Ⅰ)知,则 .
因为,所以.
【题型】解答题
【结束】
23
选修4-5:不等式选讲
已知函数, .
(Ⅰ)若对于任意, 都满足,求的值;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
难度: 中等查看答案及解析