如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N...

在正方形ABCD中，E，F分别是CB，CD延长线上的点，，连接AE，AF．

如图1，求证：；

如图2，连接EF分别交AB，AD于M，N两点，直接写出图中所有等腰直角三角形．

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如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

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如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.

(1)已知EO＝，求正方形ABCD的边长；

(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

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如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

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已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．

（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；

（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．

（3）当△CG是直角三角形时，求x和y值．

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如图1，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，且满足

AF＝DE，连接BF、AE，交点为O，

1.请判断AE与BF的关系，并证明你的结论．

2.如图2，连接BE、EF，若G、H、P、Q分别是AB、BE、EF、FA的中点，试说明四边形GHPQ是正方形．

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以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABF和ADE,连接EB.

(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1),以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角三角形ABF和ADE，连接EB、FD，线段EB和FD的数量关系是　　　　　　　　　　 .

(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),以边AB、AD为斜边分别向内侧作等腰直角三角形ABF和ADE，连接EF、BD，线段EF和BD具有怎样的数量关系?请加以证明;

(3)当四边形ABCD为平行四边形时(如图3),以边AB、AD为斜边分别向平行四边形内测、外侧作等腰直角三角形ABF和ADE，且△EAD与△FBA的顶角都为α，连接EF、BD，交点为G，请用α表示出∠EGD，并说明理由.

图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图2　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图3

【答案】（1）EF=BD；（2）EF=BD；（3）

【解析】分析：（1）正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到EB=FD；（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再证得∠BAD=∠FAE，即可判定△BAD∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得，即可得；（3），先证△BFA∽△DEA，即可得，

再证得，所以△BAD∽△FAE，根据全等三角形的性质即可得，再由∠AHE=∠DHG，即可得.

详【解析】
(1)EF=BD，

理由如下：

四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，

∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，

∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，

∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，

∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，

∴∠FAD=∠BAE，

在△AFD和△ABE中， ，

∴△AFD≌△ABE，

∴EB=FD；

(2)EF=BD.

证明：∵△AFB为等腰直角三角形

∴,∠FAB=45°

同理： ,∠EAD=45°　 ∴∠BAD+∠FAD=∠EAD+∠DAF

即∠BAD=∠FAE

∵， ∴

∴△BAD∽△FAE ∴

即：

（3）【解析】

∵△AFB为等腰直角三角形，∴FB=FA，

同理：ED=EA，∴，

又∵ ，∴△BFA∽△DEA，

∴，

∴，

∴，

∴△BAD∽△FAE，

∴，

又∵∠AHE=∠DHG，

∴.

点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等腰直角三角形的先证、相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．

【题型】解答题
【结束】
27

如图,二次函数的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点B的坐标为（3,0）,顶点C的坐标为（1,4）.连接BC.

（1）求二次函数的解析式和直线BC的解析式；

（2）点M是直线BC上的一个动点（不与B、C重合），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，交x轴于点P.

①如图1，求线段MN长度的最大值；

②如图2，连接AM，QN，QP.试问：抛物线上是否存在点Q,使得与的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

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如图，E，F分别是边长为6的正方形ABCD的边CD，AD上两点，且CE=DF，连接CF，BE交于点，在上截取，连接，若，则的长度为　　　　　 ．

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