如图所示，直线与y轴相交于点D，点A1在直线上，点B1在X轴上，且△OA1B1是正三角形，...

九年级数学选择题中等难度题查看答案及解析

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定义：如果过三角形一个顶点的直线与对边所在直线相交，得到的三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这样的直线为三角形的相似线．

如图1，△ABC中，直线CD与AB交于点D，若△ACD∽△ABC，则称直线CD是△ABC的相似线．

解决问题：

已知：如图2，在△ABC中，∠BAC＞∠ACB ＞∠ABC．

求作：△ABC的相似线．

（1）小明用如下方法作出△ABC的一条相似线：

作法：如图3，①作△ABC的外接圆⊙O；

②以C为圆心，AC的长为半径画弧，与⊙O交于点P；

③连接AP，交BC于点D．

则直线AD为△ABC的相似线．

请你证明小明的作法的正确性．

（2）过A点还有其它的△ABC的相似线，请你参考（1）中的作法与结论，利用尺规作图，在图3中再作出一条△ABC的相似线AE；（写出作法，保留作图痕迹，不要证明）

（3）若△ABC中，∠BAC=90°，则△ABC中过A点的相似线有　　　　　　 条，过B点的相似线有　　　　　　 条．

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七年级我们学过三角形的相关知识，在动手实践的过程中，发现了一个基本事实：

三角形的三条高（或三条高所在直线）相交于一点．

其实，有很多八年级、九年级的问题均可用此结论解决．

【运用】如图，已知：△ABC的高AD与高BE相交于点F，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC交AB于点G，求证：FG+CD=BD．

小方同学在解答此题时，利用了上述结论，她的方法如下：

连接CF并延长，交AB于点M，

∵△ABC的高AD与高BE相交于点F，

∴CM为△ABC的高．

（请你在下面的空白处完成小方的证明过程．）

【操作】如图AB是圆的直径，点C在圆内，请仅用无刻度的直尺画出△ABC中AB边上的高．

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七年级我们学过三角形的相关知识，在动手实践的过程中，发现了一个基本事实：

三角形的三条高（或三条高所在直线）相交于一点．

其实，有很多八年级、九年级的问题均可用此结论解决．

【运用】

如图，已知：△ABC的高AD与高BE相交于点F，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC交AB于点G，求证：FG+CD=BD．

小方同学在解答此题时，利用了上述结论，她的方法如下：

连接CF并延长，交AB于点M，

∵△ABC的高AD与高BE相交于点F，

∴CM为△ABC的高．

（请你写出小方没完成的证明过程．）

【操作】

如图AB是圆的直径，点C在圆内，请仅用无刻度的直尺画出△ABC中AB边上的高．

（不写画法）

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如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．

（1）求m的值及C点坐标；

（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由；

（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

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