辽宁省营口市2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷

若则一定有（ ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

若则一定有（ ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】D

【解析】本题主要考查不等关系。已知,所以，所以，故。故选

【题型】单选题
【结束】
2

设集合，，则

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

设集合，，则

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】B

【解析】

，故 ，故选B．

考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．

【题型】单选题
【结束】
3

《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为( )

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为( )

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】A

【解析】

设5人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则易知5a=100，a=20

又,3a+3d=7(2a-3d),

所以24d=11a,,所以最小的1份为.

【题型】单选题
【结束】
4

等差数列的前项和，若，则( )

A. 8　　 B. 10　　 C. 12　　 D. 14

难度: 简单查看答案及解析

等差数列的前项和，若，则( )

A. 8　　 B. 10　　 C. 12　　 D. 14

【答案】C

【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.

考点：等差数列的性质.

【题型】单选题
【结束】
5

若直线＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)

A. 4　　 B. 3　　 C. 2　　 D. 5

难度: 简单查看答案及解析

若直线＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)

A. 4　　 B. 3　　 C. 2　　 D. 5

【答案】A

【解析】

将（1，1）代入直线得：＝1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．

∵直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），

∴＝1（a＞0，b＞0），

所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，

当且仅当=即a=b=2时取等号，

∴a+b最小值是4，

故选：A．

【点睛】

点睛：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

【题型】单选题
【结束】
6

在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）

A. 58　　 B. 88　　 C. 143　　 D. 176

难度: 简单查看答案及解析

在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）

A. 58　　 B. 88　　 C. 143　　 D. 176

【答案】B

【解析】试题分析：等差数列前n项和公式， ．

考点：数列前n项和公式．

【题型】单选题
【结束】
7

已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)

A. 7　　 B. 5

C. －5　　 D. －7

难度: 简单查看答案及解析

已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)

A. 7　　 B. 5

C. －5　　 D. －7

【答案】D

【解析】由解得或

∴或，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.选D.

点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

【题型】单选题
【结束】
8

在数列{ }中，已知，，，则等于(　　)

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

在数列{ }中，已知，，，则等于(　　)

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】B

【解析】

将数列的等式关系两边取倒数是公差为的等差数列，再根据等差数列求和公式得到数列通项，再取倒数即可得到数列{}的通项.

将等式两边取倒数得到，是公差为的等差数列，=，根据等差数列的通项公式的求法得到，故=.

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等等.

【题型】单选题
【结束】
9

在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （　　　 ）

(A) [15,20] (B) [12,25]   (C) [10,30] (D) [20,30]

难度: 中等查看答案及解析

在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （　　　 ）

(A) [15,20] (B) [12,25]   (C) [10,30] (D) [20,30]

【答案】C

【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以，又，所以，即，解得.

【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于难题.

【题型】单选题
【结束】
10

设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)

A. 5　　 B. 4　　 C. 3　　 D. 6

难度: 中等查看答案及解析

设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)

A. 5　　 B. 4　　 C. 3　　 D. 6

【答案】A

【解析】

根据数列前n项和的定义得到的值，再由数列的前n项和的公式得到，进而求得首项，由=2，解得m值.

Sm－1＝－2，Sm＝0，故得到 Sm＝0，Sm＋1＝3，则，

根据等差数列的前n项和公式得到Sm＝，得到首项为-2，故=2，解得m=5.

故答案为：A.

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

【题型】单选题
【结束】
11

已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于(　　)

A. 126　　 B. 130　　 C. 132　　 D. 134

难度: 中等查看答案及解析

已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于(　　)

A. 126　　 B. 130　　 C. 132　　 D. 134

【答案】C

【解析】

由题意可知，lga3=b3，lga6=b6再由b3，b6，用a1和q表示出a3和b6，进而求得q和a1，根据{an}为正项等比数列推知{bn}为等差数列，进而得出数列bn的通项公式和前n项和，可知Sn的表达式为一元二次函数，根据其单调性进而求得Sn的最大值．

由题意可知，lga3=b3，lga6=b6．

又∵b3=18，b6=12，则a1q2=1018，a1q5=1012，

∴q3=10﹣6．

即q=10﹣2，∴a1=1022．

又∵{an}为正项等比数列，

∴{bn}为等差数列，

且d=﹣2，b1=22．

故bn=22+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+24．

∴Sn=22n+×（﹣2）

=﹣n2+23n=，又∵n∈N*，故n=11或12时，（Sn）max=132．

故答案为：C.

【点睛】

这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。

【题型】单选题
【结束】
12

已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】D

【解析】

由{an}是递增数列，得到an+1＞an，再由“an=n2+λn恒成立”转化为“λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立”求解．

∵{an}是递增数列，

∴an+1＞an，

∵an=n2+λn恒成立

即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，

∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．

而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，

∴λ＞﹣3，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查由数列的单调性来构造不等式，解决恒成立问题．研究数列单调性的方法有：比较相邻两项间的关系，将an+1和an做差与0比较，即可得到数列的单调性；研究数列通项即数列表达式的单调性.

【题型】单选题
【结束】
13

已知数列{an}满足a1=1，且an＝an－1+2n1 (n≥2 )，则a20＝________．

难度: 简单查看答案及解析

已知数列{an}满足a1=1，且an＝an－1+2n1 (n≥2 )，则a20＝________．

【答案】400

【解析】

由an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1=1．知an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1,可得到a20.

由an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1=1．

知an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1

=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3+1=．

故a20＝400.

故答案为：400.

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；累加法，累乘法求通项方法；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

【题型】填空题
【结束】
14

中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________．

难度: 简单查看答案及解析

中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________．

【答案】5.

【解析】

设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．

【考点定位】等差中项．

【题型】填空题
【结束】
15

对于不等式，则对区间上的任意x都成立的实数t的取值范围是_______．

难度: 中等查看答案及解析

对于不等式，则对区间上的任意x都成立的实数t的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

根据二次函数的单调性求出x2﹣3x+2在区间[0，2]上的最小值和最大值，把问题转化关于t的不等式组得答案．

∵x2﹣3x+2=，

∴当x∈[0，2]时，，（x2﹣3x+2）max=2．

∴．

∴对于不等式（2t﹣t2）≤x2﹣3x+2≤3﹣t2，对区间[0，2]上任意x都成立的实数t的取值范围是[﹣1，1﹣]．

故答案为：[﹣1，1﹣].

【点睛】

本题考查函数恒成立问题，考查了不等式的解法，体现了数学转化思想方法，是基础题．二次不等式分含参二次不等式和不含参二次不等式；对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.

【题型】填空题
【结束】
16

等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．

难度: 中等查看答案及解析

等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．

【答案】4

【解析】

成等比数列，=1，可得：= ，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．

∵成等比数列，a1=1，

∴= ，

∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，

解得d=2．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

Sn=n+×2=n2．

∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，

当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

【题型】填空题
【结束】
17

设是公比为正数的等比数列,,

(1)求的通项公式;

(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前项和

难度: 中等查看答案及解析

设是公比为正数的等比数列,,

(1)求的通项公式;

(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前项和

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)根据等比数列的通项公式得到：，解得二次方程可得到或(舍去)，进而得到数列的通项；（2）已知数列的类型是等差数列与等比数列求和的问题，根据等差等比数列求和公式得到结果即可.

解:(1)设为等比数列的公比,则由,得:

即,解得:或(舍去)　　

所以的通项公式为　　　

(2) 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 得 到：

由 等 差 数 列 求 和 公 式 和 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 得 到

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

【题型】解答题
【结束】
18

设a≠b，解关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．

难度: 中等查看答案及解析

设a≠b，解关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．

【答案】{x|0≤x≤1}．

【解析】

将原不等式化简为(a－b)2(x2－x) ≤0，由条件得到系数(a－b)2＞0，直接解出不等式x2－x≤0即可.

【解析】
将原不等式化为

(a2－b2)x+b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2，　　

移项，整理后得　 (a－b)2(x2－x) ≤0，…

∵ a≠b 即 (a－b)2＞0，

∴ x2－x≤0，　　　　

即 x(x－1) ≤0．　

解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}．

【点睛】

本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法；解题时要注意公式的灵活运用．对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.

【题型】解答题
【结束】
19

设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知与的等比中项为，且与的等差中项为1，求数列{an}的通项公式。

难度: 中等查看答案及解析

设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知与的等比中项为，且与的等差中项为1，求数列{an}的通项公式。

【答案】或.

【解析】

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，运用等差中项和等比中项的定义，利用等差数列的求和公式，代入可求a1，d，解方程可求通项an．

设等差数列{an}的首项,公差为，则通项为，

前项和为，依题意有,

其中，由此可得,

整理得,　 解方程组得或,

由此得；或.

经检验和均合题意.

所以所求等差数列的通项公式为或.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式和性质及等比数列中项的性质，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用。

【题型】解答题
【结束】
20

等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.

(1)求an与bn；

(2)求

难度: 中等查看答案及解析

等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.

(1)求an与bn；

(2)求

【答案】（1）an＝2n＋1，bn＝8n－1.（2）

【解析】

（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题设条件建立方程组，解方程组得到d和q的值，从而求出an与bn；（2）由Sn=n（n+2），知，由此可求出的值．

(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，

an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，

依题意有，

解得或 (舍去)．

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝ (1－＋－＋－＋…＋－)

＝ (1＋－－)

＝－.

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

【题型】解答题
【结束】
21

已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝.

(1)当n∈N＋，求f(n)的表达式；

(2)设an＝nf(n)，n∈N＋，求证：a1＋a2＋…＋an<2.

难度: 中等查看答案及解析

已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝.

(1)当n∈N＋，求f(n)的表达式；

(2)设an＝nf(n)，n∈N＋，求证：a1＋a2＋…＋an<2.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通过令x=n，y=1，说明{f（n）}是以f(1)＝为首项，公比为的等比数列求出；（2）利用（1）求出an=n•f（n）的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可说明不等式成立．

(1)【解析】
f(n)＝f[(n－1)＋1]

＝f(n－1)·f(1)＝f(n－1)．

∴当n≥2时，＝.

又f(1)＝，

∴数列{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，

∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.

(2)证明：由(1)可知，

an＝n·()n＝n·，

设Sn＝a1＋a2＋…＋an，

则Sn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·，①

∴Sn＝＋2×＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·.②

①－②得，

Sn＝＋＋＋…＋－n·

＝－＝1－－，

∴Sn＝2－－<2.

即a1＋a2＋…＋an<2.

【点睛】

本题考查数列与函数的关系，数列通项公式的求法和的求法，考查不等式的证明，裂项法与错位相减法的应用，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

【题型】解答题
【结束】
22

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a (a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．

难度: 中等查看答案及解析