已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)当n∈N+,求f(n)的表达式;
(2)设an=nf(n),n∈N+,求证:a1+a2+…+an<2.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)利用f(x+y)=f(x)f(y)(x,y∈R)通过令x=n,y=1,说明{f(n)}是以f(1)=为首项,公比为的等比数列求出;(2)利用(1)求出an=n•f(n)的表达式,利用错位相减法求出数列的前n项和,即可说明不等式成立.
(1)【解析】
f(n)=f[(n-1)+1]
=f(n-1)·f(1)=f(n-1).
∴当n≥2时,=.
又f(1)=,
∴数列{f(n)}是首项为,公比为的等比数列,
∴f(n)=f(1)·()n-1=()n.
(2)证明:由(1)可知,
an=n·()n=n·,
设Sn=a1+a2+…+an,
则Sn=+2×+3×+…+(n-1)·+n·,①
∴Sn=+2×+…+(n-2)·+(n-1)·+n·.②
①-②得,
Sn=+++…+-n·
=-=1--,
∴Sn=2--<2.
即a1+a2+…+an<2.
【点睛】
本题考查数列与函数的关系,数列通项公式的求法和的求法,考查不等式的证明,裂项法与错位相减法的应用,数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等.
【题型】解答题
【结束】
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设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a (a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N+.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N+,求a的取值范围.
高二数学解答题中等难度题
已知,且,
(1)求函数的表达式;
(2)已知函数的项满足,试求,,,;
(3)猜想的通项;
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已知函数在()处的切线方程为。
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)当满足什么条件时,函数在区间上单调递增?
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已知函数(为常数,),满足,且有两个相同的解。
(1)求的表达式;
(2)设数列满足,且,求证:数列是等差数列。
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已知二次函数,满足,且方程有两个相等的实根.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求函数的最小值的表达式.
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已知为一次函数,,且满足
(1)求的表达式
(2)若函数有零点,求的取值范围.
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已知函数满足①;②。
(1)求函数的解析表达式;
(2)若对任意,都有成立,求实数的取值范围。
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已知函数满足且在时函数取得极值.
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)求函数在区间上的最大值的表达式.
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已知函数,且
(1)求函数的表达式;
(2)若数列的项满足,试求;
(3)猜想数列的通项,并用数学归纳法证明.
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已知定义在上的函数满足:⑴,⑵, (3)在上表达式为,则函数与函数的图像在区间上的交点个数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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