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本卷共 24 题,其中:
选择题 12 题,填空题 4 题,解答题 8 题
简单题 10 题,中等难度 8 题,困难题 6 题。总体难度: 简单
选择题 共 12 题
  1. 复数为虚数单位)的共轭复数为(   )

    A.           B.            C.            D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知集合,则的子集个数为(   )

    A.8           B.3             C.4               D.7

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 下列选项中叙述错误的是(   )

    A.命题“若,则”的否命题是“若,则

    B.命题“若,则”的逆否命题为真命题

    C.若命题,则

    D.若“”为假命题,则“”为真命题

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知),则的值为(   )

    A.           B.           C.          D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知为正三角形内一点,且满足,若的面积与的面积比值为3,则的值为(   )

    A.3               B.             C.1           D.2

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知圆上到直线的距离等于1的点恰有3个,则实数的值为(   )

    A.         B.          C.           D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 下图是函数,在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上所有的点(   )

    A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.

    B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变

    C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.

    D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 某实验室至少需要某种化学药品10,现在市场上出售的该药品有两种包装,一种是每袋3,价格为12元;另一种是每袋2,价格为10元.但由于保质期的限制,每一种包装购买的数量都不能超过5袋,则在满足需要的条件下,花费最少(   )

    A.56            B.42            C.44             D.54

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是(   )

    A.3024             B.1007           C.2015            D.2016

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 已知在双曲线上,其左、右焦点分别为的内切圆与轴相切于点,则的值为(   )

    A.         B.         C.         D.

    难度: 困难查看答案及解析

  11. 已知三棱锥所有顶点都在球的球面上,且平面,若,则球的表面积为(   )

    A.           B.           C.             D.

    难度: 简单查看答案及解析

  12. 如图,偶函数的图象如字母,奇函数的图象如字母,若方程

    的实根个数分别为,则(   )

    A.12             B.18             C.16             D.14

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 在矩形中,对角线与相邻两边所成的角分别为,则有,类比到空间中的一个正确命题是:在长方体中,对角线与相邻三个面所成的角分别为,则__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 某校有两个文学社团,若三名学生各自随机选择参加其中的一个社团,则三人不在同一个社团的概率为___________.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. ,已知,则的值为___________.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 若函数)在区间内有两个零点,则的取值范围是___________.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 8 题
  1. 已知数列的前项和,数列的通项公式.

    (1)求数列的通项公式;

    (2)设,求证:

    (3)若数列中相同的项由小到大构成的数列为,求数列的前项和.

    难度: 困难查看答案及解析

  2. 如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直,长度分别为1,2,2.若),且向量夹角的余弦值为.

    (1)求的值;

    (2)求直线与平面所成角的正弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 某厂生产一种零件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于8为优质品,小于8大于等于4为正品,小于4为次品,现随机抽取这种零件100件进行检测,检测结果统计如下:

    若以上述测试中各组的频率作为相应的概率.

    (1)试估计这种零件的平均质量指标;

    (2)生产一件零件,若是优质品可盈利40元,若是正品盈利20元,若是次品则亏损20元;现从大量的这种零件中随机抽取2件,其利润之和记为(单位:元),求的分布列及数学期望.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点,过作直线交椭圆于两点,若的周长为8.

    (1)求椭圆方程;

    (2)若直线的斜率不为0,且它的中垂线与轴交于,求的纵坐标的范围;

    (3)是否在轴上存在点,使得轴平分?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 定义在上的函数及二次函数满足:.

    (1)求的解析式;

    (2)对于,恒有成立,求实数的取值范围;

    (3)设,讨论关于的方程的实数解的个数情况.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 如图,交圆于两点,切圆于上一点,且,连接并延长交圆于点,作弦垂直垂足为.

    (1)求证:为圆的直径;

    (2)若,求证:.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 在平面直角坐标系中,已知曲线的方程为,以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为.

    (1)将曲线上的所有点的横坐标伸长为原为的倍,纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线,试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;

    (2)设为曲线上任意一点,求点到直线的最大距离.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知的最小值为.

    (1)求的值;

    (2)解关于的不等式.

    难度: 中等查看答案及解析