如图，已知∠MON＝120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA＝OB＝a，将射线OM绕点...

如图，已知∠MON＝120°，点A，B分別在OM，ON上，且OA＝OB＝a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°，且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD．

（1）求证：AD＝CD；

（2）如图1，当0°＜α＜60°时，试证明∠ACD的大小是一个定值；

（3）当60°＜α＜120°时，（2）中的结论还成立吗？请补全图形并说明理由；

（4）△ACD面积的最大值为　　　 　．（直接写出结果）

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如图，已知∠MON＝120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA＝OB＝a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，则有：(1)AD＝__ CD(填数量关系)；(2)△ACD面积的最大值为_____．

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如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：

①AD=CD；

②∠ACD的大小随着α的变化而变化；

③当α=30°时，四边形OADC为菱形；

④△ACD面积的最大值为a2；

其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．

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已知∠MON＝60°，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．

（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于点A，求证：PA＝PB；

（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足，求△POB与△PBC的面积之比；

（3）当OB＝2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．

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如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°. 求证：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.

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（12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．

（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

（3）如图3，C是函数（）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

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已知直线MN是线段BC的垂直平分线，垂足为O，P为射线OM上的一点，连接BP，PC．将线段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ（PQ与PC不重合），旋转角为α（0°＜α＜180°）直线CQ交MN与点D．

（1）如图1，当α＝30°，且点P与点O重合时，∠CDM的度数是　　 　；

（2）如图2，且点P与点O不重合．

①当α＝120°时，求∠CDM的度数；

②用含α的代数式表示∠CDM的度数．

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（定义）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．请利用“智慧角”的定义解决下列两个问题：

（运用）（1）如图2，已知∠MON=120°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=120°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．

（探究）（2）如图3，已知∠MON=（0°＜＜90°），OP=4，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，试用含的代数式分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

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