（本题10分）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E， DF切半圆于点F...

（本题10分）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E， DF切半圆于点F。已知∠AEF=135°。

（1）求证：DF∥AB；

（2）若OC=CE，BF=，求DE的长。

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（本题满分8分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，∠EAB=∠ADB．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长．

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（本题满分8分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，

∠EAB=∠ADB.

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；

（3）在（2）的条件下，已知AF=4，CF=2，求AE的长.

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（本题满分10分）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.

（1）求证：是半圆的切线；

（2）若，，求的长.

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（本题满分10分）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.

（1）求证：是半圆的切线；

（2）若，，求的长.

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（本题满分9分）如图，以⊿ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．

（1）试判断⊿ABC的形状，并说明理由；

（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求的值．

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（本题满分9分）如图，以⊿ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．

（1）试判断⊿ABC的形状，并说明理由；

（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求的值．

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（本题满分8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

(1)如图①，当PA的长度等于________

时，∠PAB＝60°；

当PA的长度等于________时，△PAD是等腰三角形；

(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角

坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S₁、S₂、S₃．坐

标为（a，b），试求2 S₁ S₃－S₂²的最大值，并求出此时a，b的值．

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（本题满分10分）如图，已知半圆O的直径AB，将—个三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕着点O转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连结AD、BC交于点E．线段BD是否恒等于DE，若是请证明，若不是请说明理由.

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（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知：如图，是半圆的直径，弦，动点、分别在线段、上，且，的延长线与射线相交于点、与弦相交于点（点与点、不重合），，．设，的面积为．

（1）求证：；

（2）求关于的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当是直角三角形时，求线段的长．

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