定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.
阿基米德折弦定理:如图1,和组成圆的折弦,,是弧的中点,于,则.
如图2,△中,,,,是上一点,,作交△的外接圆于,连接,则=________°.
九年级数学填空题中等难度题
问题呈现:阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG
∵M是的中点,
∴MA=MC
……
请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
实践应用:
(1)如图3,已知△ABC内接于⊙O,BC>AB>AC,D是的中点,依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC;
(2)如图4,已知等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为上一点,连接DB,∠ACD=45°,AE⊥CD于点E,△BCD的周长为4+2,BC=2,请求出AC的长.
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阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.
∵M是的中点,
∴MA=MC
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)填空:如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2,D为⊙O上 一点, ,AE⊥BD与点E,则△BDC的周长是 .
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定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.
阿基米德折弦定理:如图1,和组成圆的折弦,,是弧的中点,于,则.
如图2,△中,,,,是上一点,,作交△的外接圆于,连接,则=________°.
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请阅读下列材料,并完成相应的任务:
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一,阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一.阿基米德折弦定理:如图,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是⊙O的一条折弦),BC>AB,M是弧ABC的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.
∵M是弧ABC的中点,
∴MA=MC.
…
请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分.
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请阅读下列材料,并完成相应的任务:
阿基米德折弦定理
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.
阿拉伯Al-Biruni(973年~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德的折弦定理.
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.∵M是的中点, ∴MA=MC ...
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)填空:如图(3),已知等边△ABC内接于,AB=2,D为上一点, ,AE⊥BD与点E,则△BDC的长是 .
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我们知道,如图1,AB是⊙O的弦,点F是的中点,过点F作EF⊥AB于点E,易得点E是AB的中点,即AE=EB.⊙O上一点C(AC>BC),则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”.
(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF⊥AC于点E,求证:点E是“折弦ACB”的中点,即AE=EC+CB.
(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若成立说明理由;若不成立,那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系?直接写出,不必证明.
(3)如图4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2,过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H,交AB于点M,当∠PAB=45°时,求AH的长.
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