东北三省）2018届高三第二次模拟考试数学（理）试卷

单选题共 12 题

设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 D. 第四象限

难度: 中等查看答案及解析
设集合，集合，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
等比数列中，，，则（　　）
A. 　　 B. 4　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知向量，，若，则（　　）
A. 0　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知向量，，若，则（　　）
A. 0　　 B. 　　 C. 　　 D.
【答案】C
【解析】因为,
又因为，所以，选C.
【题型】单选题
【结束】
5
执行如下的程序框图，若输出的值为，则“？”处可填（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
执行如下的程序框图，若输出的值为，则“？”处可填（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
【答案】C
【解析】因为，
所以由,得时终止循环，因此，选C.
【题型】单选题
【结束】
6
将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（　　）
A. 240　　 B. 480　　 C. 720　　 D. 960

难度: 困难查看答案及解析
将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（　　）
A. 240　　 B. 480　　 C. 720　　 D. 960
【答案】B
【解析】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有,选B.
【题型】单选题
【结束】
7
函数的部分图象大致是（　　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
函数的部分图象大致是（　　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.
【答案】D
【解析】当时，，所以去掉A,B;
因为，所以，因此去掉C，选D.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
【题型】单选题
【结束】
8
《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
【答案】B
【解析】几何体如图，球心为O，半径为，表面积为，选B.
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
【题型】单选题
【结束】
9
是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
【答案】B
【解析】设直线方程为，与渐近线方程联立方程组解得因为，所以，选B.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
【题型】单选题
【结束】
10
设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A. 若，，则
B. 若, ,则
C. 若， , ，则
D. 若，且，点，直线，则

难度: 中等查看答案及解析
设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A. 若，，则
B. 若, ,则
C. 若， , ，则
D. 若，且，点，直线，则
【答案】C
【解析】A. 若，，则或；
B. 若, ,则无交点，即平行或异面；
C. 若， , ，过作平面与分别交于直线s,t,则, ,所以t,再根据线面平行判定定理得，因为， ,所以,即
D. 若，且，点，直线，当B在平面内时才有,
综上选C.
【题型】单选题
【结束】
11
甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（　　）
A. 甲和乙不可能同时获奖　　 B. 丙和丁不可能同时获奖
C. 乙和丁不可能同时获奖　　 D. 丁和甲不可能同时获奖

难度: 中等查看答案及解析
甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（　　）
A. 甲和乙不可能同时获奖　　 B. 丙和丁不可能同时获奖
C. 乙和丁不可能同时获奖　　 D. 丁和甲不可能同时获奖
【答案】C
【解析】若甲乙丙同时获奖，则甲丙的话错，乙丁的话对；符合题意；
若甲乙丁同时获奖，则乙的话错，甲丙丁的话对；不合题意；
若甲丙丁同时获奖，则丙丁的话错，甲乙的话对；符合题意；；
若丙乙丁同时获奖，则甲乙丙的话错，丁的话对；不合题意；
因此乙和丁不可能同时获奖，选C.
【题型】单选题
【结束】
12
已知当时，关于的方程有唯一实数解，则值所在的范围是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

已知当时，关于的方程有唯一实数解，则值所在的范围是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
【答案】B
【解析】因为，所以，令，则，再令
因为关于的方程有唯一实数解，所以，选B.
点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
【题型】单选题
【结束】
13
设随机变量，则_______.

难度: 简单查看答案及解析
设随机变量，则_______.
【答案】
【解析】试题分析：因为，满足二项分布，所以
考点：1．二项分布公式；
【题型】填空题
【结束】
14
已知递增的等差数列的前三项和为，前三项积为10，则前10项和_______.

难度: 中等查看答案及解析
已知递增的等差数列的前三项和为，前三项积为10，则前10项和_______.
【答案】85
【解析】，
所以公差为.
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【题型】填空题
【结束】
15
函数在闭区间上的最小值是_______.

难度: 中等查看答案及解析
函数在闭区间上的最小值是_______.
【答案】
【解析】
因为 ,所以 ,因此当时取最小值
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
【题型】填空题
【结束】
16
设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
【答案】
【解析】
由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为。
如图，设，过A,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E,N，则
，解得。
把代入抛物线，解得。
∴直线AB经过点与点，
故直线AB的方程为，代入抛物线方程解得。
∴。
在中，，
∴
∴。答案：
点睛：
在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
【题型】填空题
【结束】
17
已知三个内角所对的边分别是，若.
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为2，求周长的最大值.

难度: 中等查看答案及解析
已知三个内角所对的边分别是，若.
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为2，求周长的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边角关系化为边的关系，再根据余弦定理求角，（2）先根据正弦定理求边,用角表示周长，根据两角和正弦公式以及配角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求最大值.
（1）由正弦定理得，
∴，∴，即
因为，则.
（2）由正弦定理
∴，，，
∴周长
∵，∴
∴当即时
∴当时，周长的最大值为.
【题型】解答题
【结束】
18
经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：
其中：，，
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到0.01）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？

难度: 中等查看答案及解析
经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：
其中：，，
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到0.01）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？
【答案】(1)答案见解析；(2) ；(3)中度高血压人群.
【解析】试题分析：（1）将数据对应描点，即得散点图，（2）先求均值，再代人公式求，利用求，（3）根据回归直线方程求自变量为180时对应函数值，再求与标准值的倍数，确定所属人群.
(1)
（2）
∴
∴回归直线方程为.
（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为（mmHg）∵
∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.
【题型】解答题
【结束】
19
如图，四棱柱的底面为菱形，，，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长.

难度: 中等查看答案及解析
如图，四棱柱的底面为菱形，，，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)2.
【解析】试题分析：（1）设为的中点，根据平几知识可得四边形是平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列等式，解得的长.
（1）证明：设为的中点，连
因为，又，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为是菱形，且，
所以是等边三角形
取中点，则，
因为平面，
所以，
建立如图的空间直角坐标系，令，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则且，
取，设直线与平面所成角为，
则，
解得，故线段的长为2.
【题型】解答题
【结束】
20
椭圆:的左、右焦点分别为、，若椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的左、右顶点，（）为椭圆上一动点，设直线分别交直线：于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.

难度: 困难查看答案及解析
椭圆:的左、右焦点分别为、，若椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的左、右顶点，（）为椭圆上一动点，设直线分别交直线：于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程并与离心率联立方程组，解得，（2）根据点斜式得直线方程，与直线联立解得点坐标，根据向量关系得为直径的圆方程，最后代人椭圆方程进行化简，并根据恒等式成立条件求定点坐标.
(1)由已知，
∴①
∵椭圆过点，
∴②
联立①②得，
∴椭圆方程为
（2）设，已知
∵，∴
∴都有斜率
∴
∴③
∵
∴④
将④代入③得
设方程
∴方程
∴
由对称性可知，若存在定点，则该定点必在轴上，设该定点为
则
∴
∴，∴
∴存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.
点睛：定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
【题型】解答题
【结束】
21
已知函数，曲线在处的切线经过点.
（1）证明：；
（2）若当时，，求的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，曲线在处的切线经过点.
（1）证明：；
（2）若当时，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为，再根据切线过点，解得导数可得导函数零点，列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性，根据函数单调性可得函数最小值为0，即得结论，（2）先化简不等式为，分离得，再利用导数求函数单调性，利用罗伯特法则求最大值，即得的取值范围.
（1）曲线在处的切线为，即
由题意得，解得
所以
从而
因为当时，，当时， .
所以在区间上是减函数，区间上是增函数，
从而.
（2）由题意知，当时，，所以
从而当时，，
由题意知，即，其中
设，其中
设，即，其中
则，其中
（1）当时，因为时，，所以是增函数
从而当时，，
所以是增函数，从而.
故当时符合题意.
（2）当时，因为时，，
所以在区间上是减函数
从而当时，
所以在上是减函数，从而
故当时不符合题意.
（3）当时，因为时，难度: 中等查看答案及解析
在直角坐标坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线： .以为极点，轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线（）与曲线的异于极点的交点为，与曲线的交点为，求.
【答案】(1) 的极坐标方程为，的极坐标方程为；(2) .
【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线，再根据将曲线的极坐标方程；（2）将代人曲线的极坐标方程，再根据求.
（1）曲线的参数方程（为参数）
可化为普通方程，
由，可得曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为.
（2）射线（）与曲线的交点的极径为，
射线（）与曲线的交点的极径满足，解得，
所以.
【题型】解答题
【结束】
23
设函数．
（1）设的解集为，求集合；
（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，为正实数），求证：．

难度: 中等查看答案及解析