已知函数,曲线在处的切线经过点.
(1)证明: ;
(2)若当时, ,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得切线斜率为,再根据切线过点,解得导数可得导函数零点,列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性,根据函数单调性可得函数最小值为0,即得结论,(2)先化简不等式为,分离得,再利用导数求函数单调性,利用罗伯特法则求最大值,即得的取值范围.
(1)曲线在处的切线为,即
由题意得,解得
所以
从而
因为当时, ,当时, .
所以在区间上是减函数,区间上是增函数,
从而.
(2)由题意知,当时, ,所以
从而当时, ,
由题意知,即,其中
设,其中
设,即,其中
则,其中
(1)当时,因为时, ,所以是增函数
从而当时, ,
所以是增函数,从而.
故当时符合题意.
(2)当时,因为时, ,
所以在区间上是减函数
从而当时,
所以在上是减函数,从而
故当时不符合题意.
(3)当时,因为时, 高三数学解答题中等难度题
已知函数,曲线在处的切线经过点.
(1)证明: ;
(2)若当时, ,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得切线斜率为,再根据切线过点,解得导数可得导函数零点,列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性,根据函数单调性可得函数最小值为0,即得结论,(2)先化简不等式为,分离得,再利用导数求函数单调性,利用罗伯特法则求最大值,即得的取值范围.
(1)曲线在处的切线为,即
由题意得,解得
所以
从而
因为当时, ,当时, .
所以在区间上是减函数,区间上是增函数,
从而.
(2)由题意知,当时, ,所以
从而当时, ,
由题意知,即,其中
设,其中
设,即,其中
则,其中
(1)当时,因为时, ,所以是增函数
从而当时, ,
所以是增函数,从而.
故当时符合题意.
(2)当时,因为时, ,
所以在区间上是减函数
从而当时,
所以在上是减函数,从而
故当时不符合题意.
(3)当时,因为时, 高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数.
()当时,求此函数对应的曲线在处的切线方程.
()求函数的单调区间.
()对,不等式恒成立,求的取值范围.
【答案】();()见解析;()当时, ,当时
【解析】试题分析:(1)利用导数的意义,求得切线方程为;(2)求导得,通过, , 分类讨论,得到单调区间;(3)分离参数法,得到,通过求导,得, .
()当时, ,
∴, ,
,∴切线方程.
()
.
令,则或,
当时, 在, 上为增函数.
在上为减函数,
当时, 在上为增函数,
当时, 在, 上为单调递增,
在上单调递减.
()当时, ,
当时,由得
,对恒成立.
设,则
,
令得或,
极小 |
,∴, .
点睛:本题考查导数在函数综合题型中的应用。含参的函数单调性讨论,考查学生的分类讨论能力,本题中,结合导函数的形式,分类讨论;含参的恒成立问题,一般采取分离参数法,解决恒成立。
【题型】解答题
【结束】
20
已知集合,集合且满足:
, , 与高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足, ,记的前项和为,求证: .
【答案】(I);(II);(III)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间, 求得的范围,可得函数的减区间;(Ⅱ)当时,因为,所以显然不成立,先证明因此时, 在上恒成立,再证明当时不满足题意,从而可得结果;(III)先求出等差数列的前项和为,结合(II)可得,各式相加即可得结论.
(Ⅰ)由,得.所以
令,解得或(舍去),所以函数的单调递减区间为 .
(Ⅱ)由得,
当时,因为,所以显然不成立,因此.
令,则,令,得.
当时, , ,∴,所以,即有.
因此时, 在上恒成立.
②当时, , 在上为减函数,在上为增函数,
∴,不满足题意.
综上,不等式在上恒成立时,实数的取值范围是.
(III)证明:由知数列是的等差数列,所以
所以
由(Ⅱ)得, 在上恒成立.
所以高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知,函数(是自然对数的底数).
(Ⅰ)若,证明:曲线没有经过点的切线;
(Ⅱ)若函数在其定义域上不单调,求的取值范围;
(Ⅲ)是否存在正整数,当时,函数的图象在轴的上方,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
高三数学解答题困难题查看答案及解析
已知函数,(其中常数)
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若存在实数使得不等式成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)先求导函数,由导数的几何意义知,利用直线的点斜式方程求切线方程;(2)依题意,只需在上成立,故转化为求函数在区间的最小值问题.的根,得,并讨论根定义域的位置,当,将定义域分段,并考虑导数的符号,判断函数大致图象,求函数的最小值;当时,函数单调性,利用单调性求函数的最小值,并列不等式,求参数的取值范围.
(1)定义域
当时,,
,
曲线在处的切线方程为:.
(2),令,
在递减,在递增..
若存在实数使不等式成立,
只需在上成立,
①若,即时,
,即,.10分
②若,即时,,解得,故
综上所述:的取值范围.
考点:1、导数的几何意义;2、导数在单调性上的应用;3、利用导数求函数的极值、最值.
【题型】解答题
【适用】较难
【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
已知椭圆的离心率,长轴的左右端点分别为,.
(1)求椭圆的方程;
(2)设动直线与曲线有且只有一个公共点,且与直线相交于点.
求证:以为直径的圆过定点.
高三数学解答题困难题查看答案及解析
已知函数,.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)证明:当时,曲线恒在曲线的下方;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
高三数学解答题困难题查看答案及解析
已知函数.
(1)求曲线的斜率为2的切线方程;
(2)证明:;
(3)确定实数的取值范围,使得存在,当时,恒有.
高三数学解答题困难题查看答案及解析
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)证明:总存在,使得当,恒有.
高三数学解答题极难题查看答案及解析
已知函数,.
(1)若曲线在点处的切线斜率为,求实数的值;
(2)若在有两个零点,求的取值范围;
(3)当时,证明:.
高三数学解答题困难题查看答案及解析
已知函数,.
(1)若曲线在点处的切线斜率为,求实数的值;
(2)若在有两个零点,求的取值范围;
(3)当时,证明:.
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