安徽省六安市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试卷

抛物线的焦点坐标是（　 ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（ ）

A. 　　 B.

C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（ ）

A. 　　 B.

C. 　　 D.

【答案】C

【解析】试题分析：因,令,故,所以,应选C.

考点：双曲线的几何性质.

【题型】单选题
【结束】
3

下列不等式的证明过程正确的是（　　 ）．

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若为负实数，则

D. 若为负实数，则

难度: 简单查看答案及解析

下列不等式的证明过程正确的是（　　 ）．

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若为负实数，则

D. 若为负实数，则

【答案】D

【解析】对于A：a，b∈R，不满足条件，

对于B，x，y∈R+，lgx，lgy与0的关系无法确定，

对于C：x为负实数则 ，故错误，

对于D：正确，

故选D.

【题型】单选题
【结束】
4

直线是曲线的一条切线，则实数的值为（　 ）

A. 2　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

直线是曲线的一条切线，则实数的值为（　 ）

A. 2　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】C

【解析】y′=（lnx）′=, ，令得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程, ∴ln2=1+b∴b=ln2-1．

故选C．

点睛：对于直线是曲线的切线问题，都是先求导数，令直线斜率与导数值相等得出切点坐标，再代入直线方程即可得出参数值.

【题型】单选题
【结束】
5

函数的单调递减区间为（　　 ）

A．　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

函数的单调递减区间为（　　 ）

A．　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　 D.

【答案】B

【解析】

根据题意，对于函数，由于（x>0），可知，当y’<0时，则可知0<x<1能满足题意，故可知单调减区间为，选B.

考点：导数的运用

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域

【题型】单选题
【结束】
6

已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为， 的右焦点与抛物线的焦点重合， 是的准线与的两个交点，则=（　　 ）

A. 3　　 B. 6　　 C. 9　　 D. 12

难度: 中等查看答案及解析

已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为， 的右焦点与抛物线的焦点重合， 是的准线与的两个交点，则=（　　 ）

A. 3　　 B. 6　　 C. 9　　 D. 12

【答案】B

【解析】结合抛物线的标准方程可得椭圆中： ，

且，故： ，

由通径公式可得： .

本题选择B选项.

【题型】单选题
【结束】
7

设满足约束条件则的最小值是

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

设满足约束条件则的最小值是

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】A

【解析】画出可行域，令 画出直线，平移直线，由于，直线的截距最小时最小，得出最优解为，，选A.

【题型】单选题
【结束】
8

已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（　　 ）

A.

B.

C.

D.

难度: 中等查看答案及解析

已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（　　 ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】结合函数的图像可知过点的切线的倾斜角最大，过点的切线的倾斜角最小，又因为点的切线的斜率，点的切线斜率，直线的斜率，故，应选答案C。

点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用。求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答。先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解。

【题型】单选题
【结束】
9

已知、为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则（ ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

已知、为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则（ ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】C

【解析】试题分析：把双曲线化为标准形式可得，则，设，由双曲线定义可得，所以，所以，

所以，所以选C．

考点：双曲线的定义及性质．

【题型】单选题
【结束】
10

已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　 　)

A. 　　 B.

C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　 　)

A. 　　 B.

C. 　　 D.

【答案】D

【解析】设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.

【题型】单选题
【结束】
11

椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】B

【解析】椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则,而，即，所以，因为，所以

故选B

点睛：本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式，在解题过程中表示出斜率乘积，关键是要利用点在圆锥曲线上得出斜率乘积是定值.

【题型】单选题
【结束】
12

设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于(　　 )

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析

设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于(　　 )

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】D

【解析】由题知：双曲线的渐近线为 y=±，所以其中一条渐近线可以为 y= ，又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以=x2+1 只有一个解，所以即，a2=4b2因为 c2=a2+b2，所以 c2=b2+4b2=5b2， ，e=

故选D

【题型】单选题
【结束】
13

“，使得”的否定为__________．

难度: 简单查看答案及解析

“，使得”的否定为__________．

【答案】，使

【解析】特称命题的否定为全称命题，所以“，使得”的否定为“，使”.

故答案为，使.

【题型】填空题
【结束】
14

已知是双曲线上的一点， 是的两个焦点，若，则的取值范围是__________．

难度: 简单查看答案及解析

已知是双曲线上的一点， 是的两个焦点，若，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由题意， ,.

故答案为.

【题型】填空题
【结束】
15

已知函数的导函数为且满足，则__________．

难度: 简单查看答案及解析

已知函数的导函数为且满足，则__________．

【答案】

【解析】,则，所以令=， ，所以

故答案为.

点睛：本题运用求导法则得出函数的导函数，求出常数的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．

【题型】填空题
【结束】
16

设抛物线的焦点为，准线为,为抛物线上一点,⊥,为垂足．如果直线的斜率为-,那么||=　　　　　　　　　　　 .

难度: 简单查看答案及解析

设抛物线的焦点为，准线为,为抛物线上一点,⊥,为垂足．如果直线的斜率为-,那么||=　　　　　　　　　　　 .

【答案】8

【解析】F(2,0),准线l:x=-2,直线AF的方程为将代入得|PF|=|PA|=8.

【题型】填空题
【结束】
17

命题方程表示双曲线；命题不等式的解集是. 为假， 为真，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

命题方程表示双曲线；命题不等式的解集是. 为假， 为真，求的取值范围.

【答案】

【解析】试题分析：由命题方程表示双曲线，求出的取值范围，由命题不等式的解集是，求出的取值范围，由为假， 为真，得出一真一假，分两种情况即可得出的取值范围.

真　

，

真　 或　

∴

真假　

假真　

∴范围为

【题型】解答题
【结束】
18

如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影， 为上一点，且.

（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.

难度: 中等查看答案及解析

如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影， 为上一点，且.

（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.

【答案】（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则，得，代入，整理得： .

（2）设直线方程为： ，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=-8，弦长公式：丨AB丨=即可求得直线被C所截线段的长度．

（1）设点的坐标为，点的坐标为，由已知得.

∵在圆上， ，

即，整理得，即的方程为.

（2）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与的交点为， ，将直线方程代入的方程，

得，即.

∴x1+x2=3，x1•x2=-8∴线段的长度为

.

∴直线被所截线段的长度为.

【题型】解答题
【结束】
19

已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求.

难度: 中等查看答案及解析

已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）21或.

【解析】试题分析：（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出。

设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.

（1）∵，结合得，

∴.

（2）∵，解得或3，

当时，，此时；

当时，，此时.

【题型】解答题
【结束】
20

如图，已知直线与抛物线相交于两点，且， 交于，且点的坐标为.

（1）求的值；

（2）若为抛物线的焦点， 为抛物线上任一点，求的最小值.

难度: 中等查看答案及解析

如图，已知直线与抛物线相交于两点，且， 交于，且点的坐标为.

（1）求的值；

（2）若为抛物线的焦点， 为抛物线上任一点，求的最小值.

【答案】（1）.（2）4.

【解析】试题分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB⊥OD，kOD=，可得直线AB的斜率k=-，得到直线AB的方程为，与抛物线方程联立化为∴，由得，即，∴，即可解得的值；

（2）过点M作直线的垂线MN，垂足为N，则|MF|=|MN|，由抛物线定义知的最小值为点到抛物线准线的距离.

（1）设， ， ，

则，直线的方程为，

即.将代入上式，

整理得，∴，由得，即

，∴，又，∴.

（2）过点M作直线的垂线MN，垂足为N，则|MF|=|MN|，由抛物线定义知的最小值为点到抛物线准线的距离，又准线方程为，因此的最小值为DN=4.

点睛：直线与抛物线相交问题转化为方程联立，垂直转化为向量数量积为0，结合根与系数的关系，列方程即可得解，对于求距离之和的最小值往往利用圆锥曲线定义进行转化，化曲为直是主要处理手段.

【题型】解答题
【结束】
21

已知函数在和处取得极值.

（1）求f（x）的表达式和极值．

（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．

难度: 简单查看答案及解析

已知函数在和处取得极值.

（1）求f（x）的表达式和极值．

（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．

【答案】（1）f（x）=2x3-3x2-12x+3,当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17（2）m≤-5或m≥2

【解析】试题分析：（1）由题意得和2为导函数两个零点，根据韦达定理可求，列表分析导函数符号变化规律，确定极值，（2）由（1）可得函数单调区间，根据为单调区间一个子集可得不等式或或，解不等式可得的取值范围.

（1）的两根为和2，∴，得，

∴，∴，令，得或；令，得，所以的极大值是，极小值是.

（2）由（1）知， 在和上单调递增，在上单调递减，

∴或或，∴或，则的取值范围是.

点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.

(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.

【题型】解答题
【结束】
22

如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.

难度: 中等查看答案及解析