如图1,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣4ax+c与直线y=kx+1(k≠0)交于y轴上一点A和第一象限内一点B,该抛物线顶点H的纵坐标为5.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AH、BH,抛物线的对称轴与直线y=kx+1(k≠0)交于点K,若S△AHB=,求k的值;
(3)在(2)的条件下,点P是直线AB上方的抛物线上的一动点(如图2),连接PA.当∠PAB=45°时,
ⅰ)求点P的坐标;
ⅱ)已知点M在抛物线上,点N在x轴上,当四边形PBMN为平行四边形时,请求出点M的坐标.
九年级数学解答题困难题
如图1,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣4ax+c与直线y=kx+1(k≠0)交于y轴上一点A和第一象限内一点B,该抛物线顶点H的纵坐标为5.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AH、BH,抛物线的对称轴与直线y=kx+1(k≠0)交于点K,若S△AHB=,求k的值;
(3)在(2)的条件下,点P是直线AB上方的抛物线上的一动点(如图2),连接PA.当∠PAB=45°时,
ⅰ)求点P的坐标;
ⅱ)已知点M在抛物线上,点N在x轴上,当四边形PBMN为平行四边形时,请求出点M的坐标.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A(m,﹣1),点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的对称轴及a的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y=kx+b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W.
①当k=1时,直接写出区域W内的整点个数;
②若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求b的取值范围.
九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图,二次函数y=ax2﹣4ax(a≠0)的图象与直线y=kx+3交于点A(﹣1,)、点C两点.
(1)求a,k的值;
(2)点P在第一象限的抛物线上,其横坐标为t,连接PC、PA,设△PCA的面积为S,求S关于t的函数关系式:(直接写出t的取值范围)
(3)在(2)的条件下,作CE⊥x轴于E,点P直线y=kx+3下方时,连接OP、BC交于D,连接ED,当∠ODE=90°时,求t和S的值.
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已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且OB=3OC,点P是第一象限内的点,连接BC,△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形.
(1)求这个抛物线的表达式;
(2)求点P的坐标;
(3)点Q在x轴上,若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似,求点Q的坐标.
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已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且OB=3OC,点P是第一象限内的点,连接BC,△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形.
(1)求这个抛物线的表达式;
(2)求点P的坐标;
(3)点Q在x轴上,若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似,求点Q的坐标.
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综合与探究
如图1,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A(﹣2,0),B(4,0),与y轴交于点C,点D是y轴负半轴上一点,直线BD与抛物线y=ax2+bx+3在第三象限交于点E(﹣4,y)点F是抛物线y=ax2+bx+3上的一点,且点F在直线BE上方,将点F沿平行于x轴的直线向右平移m个单位长度后恰好落在直线BE上的点G处.
(1)求抛物线y=ax2+bx+3的表达式,并求点E的坐标;
(2)设点F的横坐标为x(﹣4<x<4),解决下列问题:
①当点G与点D重合时,求平移距离m的值;
②用含x的式子表示平移距离m,并求m的最大值;
(3)如图2,过点F作x轴的垂线FP,交直线BE于点P,垂足为F,连接FD.是否存在点F,使△FDP与△FDG的面积比为1:2?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,说明理由.
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+4ax+4a-4(a≠0)的顶点为A.
(1)求顶点A的坐标;
(2)过点(0,5)且平行于x轴的直线l,与抛物线y=ax2+4ax+4a-4(a≠0)交于B、C两点.
①当a=1时,求线段BC的长;
②当线段BC的长不小于8时,直接写出a的取值范围.
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九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=ax2-4ax+3a-2(a≠0),其顶点为C,直线l:y=ax-2a+1(a≠0)与x轴、y轴分别交于A,B两点.
(1)当抛物线G的顶点C在x轴上时,求a的值;
(2)当a>0时,若△ABC的面积为2,求a的值;
(3)若点Q(m,n)在抛物线G上,把抛物线G绕着点P(t,-2)旋转180°,在1≤m≤3时,总有n随着m的增大而增大,请直接写出t的取值范围.
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