定义:如果两个全等的三角形有一条公共边且位于公共边的异侧,我们称这两个三角形成轴全等,公共边所在直线称为全等轴.
(1)已知在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为(4,7)、(0,4)、(4,2),若△ACD与△ABC成轴全等,全等轴为直线AC,请直接写出D点坐标.
(2)如图,在平面直角坐标系中,△ABC两个顶点B、C坐标分别为(-14,0)、(,0),∠ABC=45°,AC与y轴交于点E,点E的坐标为(0,),点F是OC上一点,坐标为(10,0) .如果M、N为△ABC的边上的两点,是否存在△OMN与△OFM以OM所在直线为全等轴的轴全等?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
九年级数学解答题困难题
定义:如果两个全等的三角形有一条公共边且位于公共边的异侧,我们称这两个三角形成轴全等,公共边所在直线称为全等轴.
(1)已知在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为(4,7)、(0,4)、(4,2),若△ACD与△ABC成轴全等,全等轴为直线AC,请直接写出D点坐标.
(2)如图,在平面直角坐标系中,△ABC两个顶点B、C坐标分别为(-14,0)、(,0),∠ABC=45°,AC与y轴交于点E,点E的坐标为(0,),点F是OC上一点,坐标为(10,0) .如果M、N为△ABC的边上的两点,是否存在△OMN与△OFM以OM所在直线为全等轴的轴全等?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)m°
【解析】分析:(1)如图1中,欲证明BD=EC,只要证明△DAB≌△EAC即可;
(2)如图2中,延长DC到E,使得DB=DE.首先证明△BDE是等边三角形,再证明△ABD≌△CBE即可解决问题;
(3)如图3中,将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG,连接CG、EG、EF、FG,延长ED到M,使得DM=DE,连接FM、CM.想办法证明△AFE≌△AFG,可得∠EAF=∠FAG=m°.
详(1)证明:如图1中,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠DAB=∠EAC,
在△DAB和△EAC中,
,
∴△DAB≌△EAC,
∴BD=EC.
(2)证明:如图2中,延长DC到E,使得DB=DE.
∵DB=DE,∠BDC=60°,
∴△BDE是等边三角形,
∴∠BD=BE,∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠ABD=∠CBE,
∵AB=BC,
∴△ABD≌△CBE,
∴AD=EC,
∴BD=DE=DC+CE=DC+AD.
∴AD+CD=BD.
(3)如图3中,将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG,连接CG、EG、EF、FG,延长ED到M,使得DM=DE,连接FM、CM.
由(1)可知△EAB≌△GAC,
∴∠1=∠2,BE=CG,
∵BD=DC,∠BDE=∠CDM,DE=DM,
∴△EDB≌△MDC,
∴EM=CM=CG,∠EBC=∠MCD,
∵∠EBC=∠ACF,
∴∠MCD=∠ACF,
∴∠FCM=∠ACB=∠ABC,
∴∠1=3=∠2,
∴∠FCG=∠ACB=∠MCF,
∵CF=CF,CG=CM,
∴△CFG≌△CFM,
∴FG=FM,
∵ED=DM,DF⊥EM,
∴FE=FM=FG,
∵AE=AG,AF=AF,
∴△AFE≌△AFG,
∴∠EAF=∠FAG=m°.
点睛:本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题,学会构造“手拉手”模型,解决实际问题,属于中考压轴题.
【题型】解答题
【结束】
25
抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
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