李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小兵的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小鹏的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,先证△GPC≌△ECP,可得:PE=CG,而PD=GF,则PD+PE=CF.
请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题:
(1)如图3,将长方形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值;
(2)如图4,P是边长为6的等边三角形ABC内任一点,且PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,求PD+PE+PF的值.
八年级数学解答题中等难度题
李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小兵的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小鹏的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,先证△GPC≌△ECP,可得:PE=CG,而PD=GF,则PD+PE=CF.
请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题:
(1)如图3,将长方形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值;
(2)如图4,P是边长为6的等边三角形ABC内任一点,且PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,求PD+PE+PF的值.
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李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小兵的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小鹏的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,先证△GPC≌△ECP,可得:PE=CG,而PD=GF,则PD+PE=CF.
请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题:
(1)如图3,将长方形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值;
(2)如图4,P是边长为6的等边三角形ABC内任一点,且PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,求PD+PE+PF的值.
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【问题情境】
徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题:
如图1,△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线.求证:AB+BD=AC
小敏的证明思路是:在AC上截取AE=AB,连接DE.(如图2)…
小捷的证明思路是:延长CB至点E,使BE=AB,连接AE. 可以证得:AE=DE(如图3)…
请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明.
【变式探究】
“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”,其它条件不变.(如图4),AB+BD=AC成立吗?若成立,请证明;若不成立,写出你的正确结论,并说明理由.
【迁移拓展】
△ABC中,∠B=2∠C. 求证:AC2=AB2+AB•BC. (如图5)
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(本题满分12分)
【问题情境】
徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题:
如图1,△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线.求证:AB+BD=AC
小敏的证明思路是:在AC上截取AE=AB,
连接DE.(如图2)
小捷的证明思路是:延长CB至点E,使BE=AB,连接AE.可以证得:AE=DE(如图3)
请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明.
【变式探究】
“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”,其它条件不变.(如图4)
AB+BD=AC成立吗?若成立,请证明;若不成立,写出你的正确结论,并说明理由.
【迁移拓展】
△ABC中,∠B=2∠C.求证:.(如图5)
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阅读理【解析】
【问题情境】金老师给“数学小达人”小明和小军提出这样一个问题:
如图1,△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线.求证:AB+BD=AC.
【证明思路】小明的证明思路是:如图2,在AC上截取AE=AB,连接DE.……
小军的证明思路是:如图3,延长CB至点E,使BE=AB,连接AE.可以证得:AE=DE.……
请你从他们的思路中,任意选择一种思路继续完成下一步的证明.
【变式探究】如图4,金老师把“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”,其它条件不变,那么AB+BD=AC还成立吗?若成立,请证明;若不成立,写出正确结论,并说明理由.
【迁移拓展】如图5,△ABC中,∠B=2∠C.求证:AC2—AB2=AB×BC.
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数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=8,AC=6,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,再证明“△ADC≌△EDB”.
(1)探究得出AD的取值范围是_____;
(2)(问题解决)如图2,△ABC中,∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中线,CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°,求AE的长.
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在数学课上,老师提出如下问题:
如图1,将锐角三角形纸片ABC(BC>AC)经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的点D,E,F.使得四边形DECF恰好为菱形.
小明的折叠方法如下:
如图2,(1)AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕交AB于D;(2)C点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F.
老师说:“小明的作法正确.”
请回答:小明这样折叠的依据是______________________________________.
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(问题情境)
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图①,△ABC中,若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是( ).
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 .
解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.
(初步运用)
如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=4,EC=3,求线段BF的长.
(灵活运用)
如图③,在△ABC中,∠A=90°,D为BC中点, DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.
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(问题情境)
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图①,△ABC中,若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是( ).
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 .
解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.
(初步运用)
如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=4,EC=3,求线段BF的长.
(灵活运用)
如图③,在△ABC中,∠A=90°,D为BC中点, DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.
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阅读理【解析】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(1)问题解决:受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
①求证:BE+CF>EF;②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明;
(2)问题拓展:如图3,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,联结EF、CF,那么下列结论①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.中一定成立是 (填序号).
图1 图2 图3
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