⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG，与弦BC相交于点D，连接A...

⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG，与弦BC相交于点D，连接AG、CP、PB．

（1）如图1，求证：AG=CP；

（2）如图2，过点P作AB的垂线，垂足为点H，连接DH，求证：DH∥AG；

（3）如图3，连接PA，延长HD分别与PA、PC相交于点K、F，已知FK=2，△ODH的面积为2，求AC的长．

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⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG，与弦BC相交于点D，连接AG、CP、PB．

（1）如图1，求证：AG=CP；

（2）如图2，过点P作AB的垂线，垂足为点H，连接DH，求证：DH∥AG；

（3）如图3，连接PA，延长HD分别与PA、PC相交于点K、F，已知FK=2，△ODH的面积为2，求AC的长．

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）AC=10

【解析】

（1）利用等弧所对的圆周角相等即可求解；

（2）利用等弧所对的圆周角相等，得到角相等∠APG=∠CAP，判断出△BOD≌△POH，再得到角相等，从而判断出线平行；

（3）由三角形相似，得出比例式，△HON∽△CAM，，再判断出四边形CDHM是平行四边形，最后经过计算即可求解．

（1）∵过的中点P作⊙O的直径PG，

∴CP=PB，

∵AB，PG是相交的直径，

∴AG=PB，

∴AG=CP；

（2）证明：如图 2，连接BG

∵AB、PG都是⊙O的直径，

∴四边形AGBP是矩形，

∴AG∥PB，AG=PB，

∵P是弧BC的中点，

∴PC=BC=AG，

∴弧AG=弧CP，

∴∠APG=∠CAP，

∴AC∥PG，

∴PG⊥BC，

∵PH⊥AB，

∴∠BOD=90°=∠POH，

在△BOD和△POH中，

，

∴△BOD≌△POH，

∴OD=OH，

∴∠ODH=（180°﹣∠BOP）=∠OPB，

∴DH∥PB∥AG．

（3）如图3，作CM⊥AP于M，ON⊥DH于N，

∴∠HON=∠BOP=∠COP=∠CAP，

∴△HON∽△CAM，

∴，

作PQ⊥AC于Q，

∴四边形CDPQ是矩形，

△APH与△APQ关于AP对称，

∴HQ⊥AP，

由（1）有：HK⊥AP，

∴点K在HQ上，

∴CK=PK，

∴PK是△CMP的中位线，

∴CM=2FK=4，MF=PF，

∵CM⊥AP，HK⊥AP，

∴CM∥HK，

∴∠BCM+∠CDH=180°，

∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK，

∴∠MHK+∠CDH=180°，

∴四边形CDHM是平行四边形，

∴DH=CM=4，DN=HN=2，

∵S△ODH=DH×ON=×4×ON=2，

∴ON=，

∴OH==5，

∴AC==10．

考点：圆的综合题．

【题型】解答题
【结束】
16

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y=的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2：直线l：y=kx+b经过M，N两点．

（1）结合图象，直接写出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集；

（2）若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C2存在公共点，

求3﹣4q的最大值．

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