某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上...

某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．

问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE．

（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值．

（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．

问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．

九年级数学解答题困难题查看答案及解析

某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.

问题思考：

如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.

（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.

（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

问题拓展：

（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长。

(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.

九年级数学解答题极难题查看答案及解析

【探究证明】

（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： =；

【结论应用】

（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为　　　　 ；

【联系拓展】

（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

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【探究证明】

(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证： ；

【结论应用】

(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为　　　　　　　　 ；

【联系拓展】

(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

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【探究证明】

(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,提出下列问题，请你给出证明.

如图1，在矩形ABCD中，EF丄GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G.H求证:

【结论应用】

(2)如图2,在满足(1)的条件下，又AM丄BN,点M、N分别在边BC、CD上，若,则的值为　　　　　　

【联系拓展】

(3)如图3,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5，AM丄DN,点M、N分别在边BC、AB上，求的值.

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如图甲，点C将线段AB分成两部分（AC＞BC），如果=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积分别为S1，S2（S1＞S2）的两部分，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）如图乙，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△ABC在（1）的条件下，如图丙，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图丁，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上的一点，（不与A，B重合）过D作DE⊥BC于点E，连接AE，CD相交于点F，连接BF并延长，与DE，AC分别交于点G，H．请问直线BH是直角三角形ABC的黄金分割线吗？并说明理由．

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如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.

（1）如图2，在△ABC中，∠A=36⁰°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90⁰，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论.

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(2014山东东营)[探究发现]如图①，已知△ABC是等边三角形，∠AEF＝60°，EF交等边三角形外角平分线于点F，当点E是BC的中点时，有AE＝EF成立．

[数学思考]某数学兴趣小组在探究AE与EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：

当点E是直线BC上(B，C除外)任意一点时(其他条件不变)，结论AE＝EF仍然成立．

假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图②中画出图形，并证明AE＝EF．

[拓展应用]当点E在线段BC的延长线上时，若CE＝BC，在图③中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC︰S△AEF的值．

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数学活动：探究与发现

定义：如图(1)，四边形ABCD为矩形，△ADE和△BCF均为等腰直角三角形，∠AED＝∠BFC＝90°，点G、H分别为AB、CD的中点，连接EG、EH、FG、FH，分别与AD、BC交于点M、P、N、Q，我们把四边形PQNM叫做矩形ABCD的递推四边形．

独立思考：

(1)求证：四边形PQNM矩形．

合作交流：

(2)解决完上述问题后，“兴趣”小组的同学们对正方形ABCD的递推四边形进行了探究，如图(2)，他们猜想矩形PQNM的宽与长的比．他们猜想的结论是否正确？请说明理由．

发现问题：(3)在“兴趣”小组同学们的启发下，“实践”小组的同学们对宽与长的比为的矩形的递推四边形进行了探究，如图(3)．他们提出如下问题：

①在矩形ABCD中，若，则矩形PQNM的宽与长的比为_____；

②在矩形ABCD中，若，则矩形PQNM的宽与长的比为______；

③在矩形ABCD中，若，则矩形PQNM的宽与长的比为______．

任务：请你完成“实践”小组提出的数学问题．(注：直接写出结果，不要求说理或证明)

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