阅读材料，解答问题。（12分）已知：锐角，如图，求作：正方形DEFG，使D、E落在BC边上...

阅读材料，解答问题。（12分）

已知：锐角，如图，求作：正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G分别落在AC、AB边上。

作法：（1）画一个有三个顶点落在两边上的正方形D₁、E₁、F₁、G₁

（如图所示）；

（2）连结BF，并延长交AC于点F；

（3）过点F作EF⊥BC于点E；

（4）过F作FG//BC，交AB于点G；

（5）过点G作GD⊥BC于点D；则四边形DEFG即为所求作的正方形。

问题：（1）说明上述所求作四边形DEFG为正方形的理由。

（2）在中，如果BC=120，BC边上的高为80，求上述正方形DEFG的边长。

（3）若把（2）中的正方形DEFG改为矩形DEFG，且GF=   DG，其他条件不变，此时，GF是多少？

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阅读材料：

小强遇到这样一个问题：已知正方形ABCD的边长为a，求作另一个正方形EFGH，使它的四个顶点分别在已知正方形的四条边上，并且边长等于b.

小强的思考是：如图，假设正方形EFGH已作出,其边长为b，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，则正方形EFGH的中心就是正方形ABCD的中心O（对角线的交点）.

∵正方形EFGH的边长为b，∴对角线EG＝HF=b,

∴OE＝OF＝OG＝OH＝b，进而点E、F、G、H可作出.

解决问题:

（1）下列网格每个小正方形的边长都为1，请你在网格中作出一个正方形ABCD，使它的边长a＝，要求A、B、C、D四个顶点都在小正方形的格点上.

（2）参考小强的思路，探究解决下列问题：作另一个正方形EFGH，使它的四个顶点分别在（1）中所做正方形ABCD的边上，并且边长b取得最小值.请你画出图形，并简要说明b取得最小值的理由，写出b的最小值.

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如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.

1.试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；

2.将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC. 你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

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如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE＝2，则AB的长为________．

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在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．

（1）如图1，顶点F在边AB上，当CG=OD时，

求m的值；

菱形DEFG是正方形吗?如果是请给予证明.

（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S，求S与a的函数关系式；

（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，请直接写出m的值．

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在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．

（1）如图1，顶点F在边AB上，当CG=OD时，

求m的值；

菱形DEFG是正方形吗?如果是请给予证明.

（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S，求S与a的函数关系式；

（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，请直接写出m的值．

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（2011•山西）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（　 ）

A．cm　　 B．4cm　　 C．cm　　 D．cm

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如图,△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,点G,F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=2cm,则AC的长为 (　　 　)

A. cm　　　　 　 B.4cm　　　　　　 C.cm　　 　D.cm

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如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求证：△AEH∽△ABC；

（2）求这个正方形的边长与面积．

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