已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，并延长交射线DC于点F，将△AB...

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已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，并延长交射线DC于点F，将△ABE沿着直线AE翻折，点B落在B′处，延长AB′，交直线CD于点M．

（1）判断△AMF的形状并证明；

（2）将正方形变为矩形ABCD，且AB=6，BC=8，若B′恰好落在对角线AC上时，得到图2，此时CF=_____， =_____；

（3）在（2）的条件下，点E在BC边上．设BE为x，△ABE沿直线AE翻折后与矩形ABCD重合的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

【答案】（1）△AMF是等腰三角形，理由见解析；（2）10，；（3） .

【解析】试题分析：（1）利用正方形的性质，∠BAE=∠F，又因为∠BAE=∠MAE，所以可得，△AMF是等腰三角形．AC=CF，

（2）由（1）结论可知, ∴CF=AC=10，利用∠ACB的正弦求值.

(3)分类讨论，当0＜x≤6时，△ABE翻折后都在矩形内部，所以重合部分面积就是三角形面积；当6＜x≤8时，设EB交AD于M，重叠部分的面积=△ABE的面积减去△AB′M的面积，得到函数解析式.

【解析】
（1）结论：△AMF是等腰三角形．理由如下：

如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DF，

∴∠BAE=∠F，

由翻折可知∠BAE=∠MAE，

∴∠F=∠MAE，

∴MA=MF，

∴△AMF是等腰三角形．

（2）如图2中，

由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC=CF，

在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=8，

∴AC==10，

∴CF=AC=10，

∵BE=BE′，

∴=sin∠ACB=，

故答案为10，．

（3）①如图3中，当0＜x≤6时，△ABE翻折后都在矩形内部，所以重合部分面积就是三角形面积，

∴y=•6•x=3x，

∴y=3x．

②如图4中，当6＜x≤8时，设EB交AD于M，

∴重叠部分的面积=△ABE的面积减去△AB′M的面积，

设B′M=a，则EM=x﹣a，AM=x﹣a，

在Rt△AB′M中，由勾股定理可得62+a2=（x﹣a）2，

∴a=，

∴y=3x﹣×6×=x+．

综上所述，y=．

【题型】解答题
【结束】
27

（2017辽宁省抚顺市，第25题，12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．

（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；

（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．

九年级数学解答题困难题

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已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，并延长交射线DC于点F，将△ABE沿着直线AE翻折，点B落在B′处，延长AB′，交直线CD于点M．
（1）判断△AMF的形状并证明；
（2）将正方形变为矩形ABCD，且AB=6，BC=8，若B′恰好落在对角线AC上时，得到图2，此时CF=_____， =_____；
（3）在（2）的条件下，点E在BC边上．设BE为x，△ABE沿直线AE翻折后与矩形ABCD重合的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）△AMF是等腰三角形，理由见解析；（2）10，；（3） .
【解析】试题分析：（1）利用正方形的性质，∠BAE=∠F，又因为∠BAE=∠MAE，所以可得，△AMF是等腰三角形．AC=CF，
（2）由（1）结论可知, ∴CF=AC=10，利用∠ACB的正弦求值.
(3)分类讨论，当0＜x≤6时，△ABE翻折后都在矩形内部，所以重合部分面积就是三角形面积；当6＜x≤8时，设EB交AD于M，重叠部分的面积=△ABE的面积减去△AB′M的面积，得到函数解析式.
【解析】
（1）结论：△AMF是等腰三角形．理由如下：
如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
由翻折可知∠BAE=∠MAE，
∴∠F=∠MAE，
∴MA=MF，
∴△AMF是等腰三角形．
（2）如图2中，
由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC=CF，
在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∴CF=AC=10，
∵BE=BE′，
∴=sin∠ACB=，
故答案为10，．
（3）①如图3中，当0＜x≤6时，△ABE翻折后都在矩形内部，所以重合部分面积就是三角形面积，
∴y=•6•x=3x，
∴y=3x．
②如图4中，当6＜x≤8时，设EB交AD于M，
∴重叠部分的面积=△ABE的面积减去△AB′M的面积，
设B′M=a，则EM=x﹣a，AM=x﹣a，
在Rt△AB′M中，由勾股定理可得62+a2=（x﹣a）2，
∴a=，
∴y=3x﹣×6×=x+．
综上所述，y=．
【题型】解答题
【结束】
27
（2017辽宁省抚顺市，第25题，12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．

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如图，正方形ABCD的边长为12，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B＇处．
（1）当＝1时，如图1，延长A B＇，交CD于点M，①CF的长为　　　　　；②求证：AM＝FM．
（2）当点B＇恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为　　　　　；＝　　　．
（3）当＝3时，求∠DA B＇的正弦值．

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如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF=　　　．

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（2007•嘉定区二模）已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B₁处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB₁的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．

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（2012•南长区一模）已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．
（1）当=1时，CF=______cm，
（2）当=2时，求sin∠DAB′的值；
（3）当=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

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已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B₁处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB₁的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．

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已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB1的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．

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已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB1的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．

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已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．
1.当=1时，CF=_____cm；
2.当 =2时，求sin∠DAB′的值；
3.当 =x时（点C与点E不重合），求△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式．

九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．
（1）当=1时，CF=______cm，
（2）当=2时，求sin∠DAB′的值；
（3）当=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

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