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阅读题:各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化,把未知转化为已知.无理方程(根号下含有未知数的方程)
=2,可以通过方程两边平方把它转化为x+1=4,可得x=3.通过“方程两边平方”解方程,有可能产生增根,必须对解得的根进行检验.例如,把方程
=x两边平方,得2x+3=x2,解得x1=3,x2=﹣1.经检验,x2=﹣1不是原方程的根,是增根.根据上述思想方法,解下列方程:
(1)
;
(2)
=2x.
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我们知道,各类方程的解法虽然不尽相同,但是它们的基本思想都是“转化”,即把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新方程.
认识新方程:
像
=x这样,根号下含有未知数的方程叫做无理方程,可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2,解得x1=3,x2=﹣1.但由于两边平方,可能产生增根,所以需要检验,经检验,x2=﹣1是原方程的增根,舍去,所以原方程的解是x=3.
运用以上经验,解下列方程:
(1)
=x;
(2)x+2
=6.
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阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想
转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程
的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
![](https://img.xintiku.com/upload/21/9c/219c37e6fe6241bf7c9d9dbdb540f87d.png)
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我们在解决数学问题时,经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已解决或比较容易解决的问题.
譬如,在学习了一元一次方程的解法以后,进一步研究二元一次方程组的解法时,我们通常采用“消元”的方法,把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如,在学习了三角形内角和定理以后,进一步研究多边形的内角和问题时,我们通常借助添加辅助线,把多边形转化为三角形,从而解决问题.
问题提出:如何把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形?
为解决上面问题,我们先来研究两种简单的“基本分割法”.
基本分割法1:如图①,把一个正方形分割成4个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形.
基本分割法2:如图②,把一个正方形分割成6个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形.
![](https://img.xintiku.com/upload/69/0c/690c557ba8d0b9c0ec604b375eaa388a.png)
问题解决:有了上述两种“基本分割法”后,我们就可以把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
(1)把一个正方形分割成9个小正方形.
一种方法:如图③,把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割,就可增加5个小正方形,从而分割成4+5=9(个)小正方形.
另一种方法:如图④,把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3个小正方形,从而分割成6+3=9(个)小正方形.
(2)把一个正方形分割成10个小正方形.
方法:如图⑤,把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3×2个小正方形,从而分割成4+3×2=10(个)小正方形.
(3)请你参照上述分割方法,把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法)
(4)把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
方法:通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形,再在此基础上每使用1次“基本分割法1”,就可增加3个小正方形,从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形,依此类推,即可把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
从上面的分法可以看出,解决问题的关键就是找到两种基本分割法,然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
类比应用:仿照上面的方法,我们可以把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形.
(1)基本分割法1:把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a中画出草图);
(2)基本分割法2:把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b中画出草图);
(3)分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法);
![](https://img.xintiku.com/upload/cb/c0/cbc09f2c9facd0bf1e52afe1ff4277ae.png)
(4)请你写出把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形的分割方法(只写出分割方法,不用画图).
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(2009•青岛)我们在解决数学问题时,经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已解决或比较容易解决的问题.
譬如,在学习了一元一次方程的解法以后,进一步研究二元一次方程组的解法时,我们通常采用“消元”的方法,把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如,在学习了三角形内角和定理以后,进一步研究多边形的内角和问题时,我们通常借助添加辅助线,把多边形转化为三角形,从而解决问题.
问题提出:如何把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形?
为解决上面问题,我们先来研究两种简单的“基本分割法”.
基本分割法1:如图①,把一个正方形分割成4个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形.
基本分割法2:如图②,把一个正方形分割成6个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形.
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问题解决:有了上述两种“基本分割法”后,我们就可以把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
(1)把一个正方形分割成9个小正方形.
一种方法:如图③,把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割,就可增加5个小正方形,从而分割成4+5=9(个)小正方形.
另一种方法:如图④,把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3个小正方形,从而分割成6+3=9(个)小正方形.
(2)把一个正方形分割成10个小正方形.
方法:如图⑤,把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3×2个小正方形,从而分割成4+3×2=10(个)小正方形.
(3)请你参照上述分割方法,把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法)
(4)把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
方法:通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形,再在此基础上每使用1次“基本分割法1”,就可增加3个小正方形,从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形,依此类推,即可把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
从上面的分法可以看出,解决问题的关键就是找到两种基本分割法,然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
类比应用:仿照上面的方法,我们可以把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形.
(1)基本分割法1:把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a中画出草图);
(2)基本分割法2:把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b中画出草图);
(3)分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法);
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(4)请你写出把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形的分割方法(只写出分割方法,不用画图).
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(2009•青岛)我们在解决数学问题时,经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已解决或比较容易解决的问题.
譬如,在学习了一元一次方程的解法以后,进一步研究二元一次方程组的解法时,我们通常采用“消元”的方法,把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如,在学习了三角形内角和定理以后,进一步研究多边形的内角和问题时,我们通常借助添加辅助线,把多边形转化为三角形,从而解决问题.
问题提出:如何把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形?
为解决上面问题,我们先来研究两种简单的“基本分割法”.
基本分割法1:如图①,把一个正方形分割成4个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形.
基本分割法2:如图②,把一个正方形分割成6个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形.
![](https://img.xintiku.com/upload/09/55/09552d26255e6db72a9206f02b210500.png)
问题解决:有了上述两种“基本分割法”后,我们就可以把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
(1)把一个正方形分割成9个小正方形.
一种方法:如图③,把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割,就可增加5个小正方形,从而分割成4+5=9(个)小正方形.
另一种方法:如图④,把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3个小正方形,从而分割成6+3=9(个)小正方形.
(2)把一个正方形分割成10个小正方形.
方法:如图⑤,把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3×2个小正方形,从而分割成4+3×2=10(个)小正方形.
(3)请你参照上述分割方法,把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法)
(4)把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
方法:通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形,再在此基础上每使用1次“基本分割法1”,就可增加3个小正方形,从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形,依此类推,即可把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
从上面的分法可以看出,解决问题的关键就是找到两种基本分割法,然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
类比应用:仿照上面的方法,我们可以把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形.
(1)基本分割法1:把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a中画出草图);
(2)基本分割法2:把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b中画出草图);
(3)分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法);
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(4)请你写出把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形的分割方法(只写出分割方法,不用画图).
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(2009•青岛)我们在解决数学问题时,经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已解决或比较容易解决的问题.
譬如,在学习了一元一次方程的解法以后,进一步研究二元一次方程组的解法时,我们通常采用“消元”的方法,把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如,在学习了三角形内角和定理以后,进一步研究多边形的内角和问题时,我们通常借助添加辅助线,把多边形转化为三角形,从而解决问题.
问题提出:如何把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形?
为解决上面问题,我们先来研究两种简单的“基本分割法”.
基本分割法1:如图①,把一个正方形分割成4个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形.
基本分割法2:如图②,把一个正方形分割成6个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形.
![](https://img.xintiku.com/upload/f6/93/f69309e6b86fd8bc2b9e55eaf68b2ca8.png)
问题解决:有了上述两种“基本分割法”后,我们就可以把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
(1)把一个正方形分割成9个小正方形.
一种方法:如图③,把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割,就可增加5个小正方形,从而分割成4+5=9(个)小正方形.
另一种方法:如图④,把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3个小正方形,从而分割成6+3=9(个)小正方形.
(2)把一个正方形分割成10个小正方形.
方法:如图⑤,把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3×2个小正方形,从而分割成4+3×2=10(个)小正方形.
(3)请你参照上述分割方法,把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法)
(4)把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
方法:通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形,再在此基础上每使用1次“基本分割法1”,就可增加3个小正方形,从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形,依此类推,即可把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
从上面的分法可以看出,解决问题的关键就是找到两种基本分割法,然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
类比应用:仿照上面的方法,我们可以把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形.
(1)基本分割法1:把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a中画出草图);
(2)基本分割法2:把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b中画出草图);
(3)分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法);
![](https://img.xintiku.com/upload/72/4c/724c527a64fa6bb030cd48435104c12f.png)
(4)请你写出把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形的分割方法(只写出分割方法,不用画图).
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(2009•青岛)我们在解决数学问题时,经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已解决或比较容易解决的问题.
譬如,在学习了一元一次方程的解法以后,进一步研究二元一次方程组的解法时,我们通常采用“消元”的方法,把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如,在学习了三角形内角和定理以后,进一步研究多边形的内角和问题时,我们通常借助添加辅助线,把多边形转化为三角形,从而解决问题.
问题提出:如何把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形?
为解决上面问题,我们先来研究两种简单的“基本分割法”.
基本分割法1:如图①,把一个正方形分割成4个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形.
基本分割法2:如图②,把一个正方形分割成6个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形.
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问题解决:有了上述两种“基本分割法”后,我们就可以把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
(1)把一个正方形分割成9个小正方形.
一种方法:如图③,把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割,就可增加5个小正方形,从而分割成4+5=9(个)小正方形.
另一种方法:如图④,把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3个小正方形,从而分割成6+3=9(个)小正方形.
(2)把一个正方形分割成10个小正方形.
方法:如图⑤,把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3×2个小正方形,从而分割成4+3×2=10(个)小正方形.
(3)请你参照上述分割方法,把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法)
(4)把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
方法:通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形,再在此基础上每使用1次“基本分割法1”,就可增加3个小正方形,从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形,依此类推,即可把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
从上面的分法可以看出,解决问题的关键就是找到两种基本分割法,然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n(n≥9)个小正方形.
类比应用:仿照上面的方法,我们可以把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形.
(1)基本分割法1:把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a中画出草图);
(2)基本分割法2:把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b中画出草图);
(3)分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法);
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(4)请你写出把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形的分割方法(只写出分割方法,不用画图).
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方程17+15x=245,x-503=x+705 , 2(x+1.5x)=24都只含有一个未知数,未知数的指数都是1,它们是一元一次方程,方程x2+3=4,x2+2x+1=0,x+y=5是一元一次方程吗?若不是,它们各是几元几次方程?
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阅读新知:化简后,一般形式为ax4+bx2+c=0(a≠0)的方程,由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程,我们称其为“双二次方程”.这类方程我们一般可以通过换元法求解.如:求解2x4-5x2+3=0的解.
【解析】
设
,则原方程可化为:
,解之得![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEAAAAAcCAYAAADRJblSAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACx
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llYignkBCaSzsRRibyMWVloIPoNiJ2kCqcUiBOYw40QXcvFyTPAw54PJzCy7m8m/u8GogXD+BWAv
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h8PYO0XkEVARLgDAD92K1fLqsrwiAAAAAElFTkSuQmCC
)
当
时,
, ∴
;
当
时
∴
.
综上,原方程的解为:
,
.
(1)通过上述阅读,请你求出方程
的解;
(2)判断双二次方程ax4+bx2+c=0(a≠0)根的情况,下列说法正确的是 (选出正确的答案).
①当b2-4ac≥0时,原方程一定有实数根;
②当b2-4ac<0时,原方程一定没有实数根;
③原方程无实数根时,一定有b2-4ac<0.