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(2004•龙岩)如图,已知抛物线C:y=-x2+x+3与x轴交于点A、B两点,过定点的直线l:y=x-2(a≠0)交x轴于点Q.
(1)求证:不论a取何实数(a≠0)抛物线C与直线l总有两个交点;
(2)写出点A、B的坐标:A(______)、B(______)及点Q的坐标:Q(______)(用含a的代数式表示);并依点Q坐标的变化确定:当______时(填上a的取值范围),直线l与抛物线C在第一象限内有交点;
(3)设直线l与抛物线C在第一象限内的交点为P,是否存在这样的点P,使得∠APB=90°?若存在,求出此时a的值;不存在,请说明理由.
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(2004•龙岩)如图,已知抛物线C:y=-x2+x+3与x轴交于点A、B两点,过定点的直线l:y=x-2(a≠0)交x轴于点Q.
(1)求证:不论a取何实数(a≠0)抛物线C与直线l总有两个交点;
(2)写出点A、B的坐标:A(______)、B(______)及点Q的坐标:Q(______)(用含a的代数式表示);并依点Q坐标的变化确定:当______时(填上a的取值范围),直线l与抛物线C在第一象限内有交点;
(3)设直线l与抛物线C在第一象限内的交点为P,是否存在这样的点P,使得∠APB=90°?若存在,求出此时a的值;不存在,请说明理由.
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已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,过(1) 中定点的直线L;y=x+k交y轴于点D,且AB=4,圆心在直线L上的⊙M为A、B两点,求抛物线和直线的关系式,弦AB与弧围成的弓形面积.
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已知抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).顶点为点C.
(1)求直线AC的解析式;
(2)试问在抛物线的对称轴上是否存在一个定点,使得过该定点的任意一条直线与抛物线有两个交点时,这两个交点与抛物线顶点的连线互相垂直?并说明理由.
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(2004•石景山区模拟)已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+3
(1)证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上;
(2)若抛物线与x轴交于M、N两点,当OM•ON=3,且OM≠ON时,求抛物线的解析式;
(3)若(2)中所求抛物线顶点为C,与y轴交点在原点上方,抛物线的对称轴与x轴交于点B,直线y=-x+3与x轴交于点A.点P为抛物线对称轴上一动点,过点P作PD⊥AC,垂足D在线段AC上.试问:是否存在点P,使S△PAD=S△ABC?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(2004•济宁)已知抛物线y=x2-(2m-1)x+4m-6.
(1)试说明对于每一个实数m,抛物线都经过x轴上的一个定点;
(2)设抛物线与x轴的两个交点A(x1,0)和B(x2,0)(x1<x2)分别在原点的两侧,且A、B两点间的距离小于6,求m的取值范围;
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点C,在(2)的条件下,试判断是否存在m的值,使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D,且被x轴截得的劣弧与是等弧?若存在,求出所有满足条件的m的值;若不存在,说明理由.
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(2004•济宁)已知抛物线y=x2-(2m-1)x+4m-6.
(1)试说明对于每一个实数m,抛物线都经过x轴上的一个定点;
(2)设抛物线与x轴的两个交点A(x1,0)和B(x2,0)(x1<x2)分别在原点的两侧,且A、B两点间的距离小于6,求m的取值范围;
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点C,在(2)的条件下,试判断是否存在m的值,使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D,且被x轴截得的劣弧与是等弧?若存在,求出所有满足条件的m的值;若不存在,说明理由.
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(2011福建龙岩,24, 13分)如图,已知抛物线与x轴相交于A、B两点,其对称轴为直线,且与x轴交于点D,AO=1.
(1) 填空:b=_______。c=_______,
点B的坐标为(_______,_______):
(2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E,交x轴于点F.求FC的长;
(3) 探究:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使⊙P与x轴、直线BC都相切?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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(2011福建龙岩,24, 13分)如图,已知抛物线与x轴相交于A、B两点,其对称轴为直线,且与x轴交于点D,AO=1.
(1) 填空:b=_______。c=_______,
点B的坐标为(_______,_______):
(2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E,交x轴于点F.求FC的长;
(3) 探究:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使⊙P与x轴、直线BC都相切?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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(2006•龙岩)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴交于A,B,C三点,点A的横坐标为-1,过点C(0,3)的直线y=-x+3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)确定b,c的值;
(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使△PQB为等腰三角形?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.