阅读下面内容，并按要求解决问题： 问题：“在平面内，已知分别有
个点，
个点，
个点，5 个点，…，n 个点，其中任意三 个点都不在同一条直线上.经过每两点画一条直线，它们可以分别画多少条直线？ ” 探究：为了解决这个问题，希望小组的同学们设计了如下表格进行探究：（为了方便研 究问题，图中每条线段表示过线段两端点的一条直线）
请解答下列问题：
（1）请帮助希望小组归纳，并直接写出结论：当平面内有
个点时，直线条数为 ；
（2）若某同学按照本题中的方法，共画了
条直线，求该平面内有多少个已知点.
九年级数学解答题中等难度题
先阅读下面两个简单的推理，然后解决问题：
①对于任意实数x，
∵x2≥0 ，
∴x2+1＞0；
②对于任意实数x，
∵(x－
)2≥0，
∴(x－)2+
＞0
问题：
1.求证：对于任何实数，均有2x2+4x+3＞0
2.先在下面的括号内填上适当的选项，再证明你的结论.
设M＝3x2－5x－1，N＝2x2－4x－7，则( )
A. M＞N B.M＜N C.M≥N D.M≤N
九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
阅读：已知△ABC，用直尺与圆规，在直线BC上方的平面内作一点M（不与点A重合），使∠BMC＝∠BAC（如图1）．
小明利用“同弧所对的圆周角相等”这条性质解决了这个问题，下面是他的作图过程：
第一步：分别作AB、BC的中垂线（虚线部分），设交点为O；
第二步：以O为圆心，OA为半径画圆（即△ABC的外接圆）
第三步：在弦BC上方的弧上（异于A点）取一点M，连结MB、MC，则∠BMC＝∠BAC．（如图2）
思考：如图2，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝10，E是CD上一点，DE＝2．
（1）请利用小明上面操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
（2）求PC的长．
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数学问题：如何计算平面直角坐标系中任意两点之间的距离？
探究问题：
为解决上面的问题，我们从最简单的问题进行研究．
探究一：在图1中，已知线段AB，A（﹣2，0），B（0，3），写出线段AO的长，BO的长，所以线段AB的长为多少；把Rt△AOB向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到Rt△CDE，写出Rt△CDE的顶点坐标C，D，E，此时线段CD的长为多少，DE的长为多少，所以线段CE的长为多少．
探究二：在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB的长（用含a，b，c，d的代数式表示，不必证明）．
归纳总结：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）时线段AB的长为多少（用含x1，y1，x2，y2的代数式表示，不必证明）．
拓展与应用：
运用在图3中，一次函数y=﹣x+3与反比例函数y=
的图象交点为A、B，交点的坐标分别是A（1，2），B（2，1）．
①求线段AB的长；
②若点P是x轴上动点，求PA+PB的最小值．
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阅读理【解析】
数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=
，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x=
，y=
．
启发应用：
如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x的取值范围．
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阅读理【解析】
数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x=，y=．
启发应用：
如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x的取值范围．
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阅读理【解析】
数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x=，y=．
启发应用：
如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x的取值范围．
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阅读理【解析】
数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x=，y=．
启发应用：
如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x的取值范围．
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阅读理【解析】
数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x=，y=．
启发应用：
如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x的取值范围．
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阅读下面材料:
小明遇到下面一个问题：
如图1所示，
是
的角平分线， 
，求
的值.
小明发现，分别过
，
作直线的垂线，垂足分别为
.通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答，
________.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，四边形
中，
平分
，
，
.
与
相交于点
.
（1）
=______.
（2）
=__________.
九年级数学填空题中等难度题查看答案及解析
阅读下面材料．
小明遇到下面一个问题：如图
所示， 
是
的角平分线， 
， 
，求
的值．小明发现，分别过
， 作直线的垂线，垂足分别为
， 
．通过推理计算，可以解决问题（如图
）．
（）请回答， 
__________．
参考小明思考问题的方法，解决问题．
如图
，四边形中， 
， 
， 
， 平分， ． 与相交于点．
（）
__________（）
__________．
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