综合与实践:
问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转中的问题:已知,在菱形中, 为对角线, ,,将菱形绕顶点顺时针旋转,旋转角为(单位),旋转后的菱形为,在旋转探究活动中提出下列问题,请你帮他们解决.
观察证明:
(1)如图1,若旋转角,与相交于点,与相交于点,请说明线段与的数量关系;
操作计算:
(2)如图2,连接,菱形旋转的过程中,当与互相垂直时, 的长为 ;
(3)如图3,若旋转角,分别连接,,过点分别作,,连接,菱形旋转的过程中,发现在中存在长度不变的线段,请求出长度;
操作探究:
(4)如图4,在(3)的条件下,请判断以,,三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.
九年级数学解答题困难题
综合与实践
问题情境
在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动,如图1,将一张菱形纸片ABCD()沿对角线AC剪开,得到和.
操作发现
(1)将图1中的以A为旋转中心,逆时针方向旋转角,使 ,得到如图2所示的,分别延长BC 和交于点E,则四边形的状是 ;
(2)创新小组将图1中的以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使,得到如图3所
示的,连接DB,,得到四边形,发现它是矩形.请你证明这个论;
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13cm,AC=10cm,然后提出一个问题:将沿着射线DB方向平移acm,得到,连接,,使四边形恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题;
(4)请你参照以上操作,将图1中的在同一平面内进行一次平移,得到,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.
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综合与实践﹣﹣旋转中的数学
问题背景:在一次综合实践活动课上,同学们以两个矩形为对象,研究相似矩形旋转中的问题:已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,它们各自对角线的交点重合于点O,连接AA′,CC′.请你帮他们解决下列问题:
观察发现:(1)如图1,若A′B′∥AB,则AA′与CC′的数量关系是______;
操作探究:(2)将图1中的矩形ABCD保持不动,矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α(0°<α≤90°),如图2,在矩形A′B′C′D′旋转的过程中,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
操作计算:(3)如图3,在(2)的条件下,当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时,若AB=6,BC=8,A′B′=3,求AA′的长.
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问题情境:
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将矩形纸片沿对角线剪开,得到和.并且量得,.
操作发现:
(1)将图1中的以点为旋转中心,按逆时针方向旋转,使,得到如图2所示的,过点作的平行线,与的延长线交于点,则四边形的形状是________.
(2)创新小组将图1中的以点为旋转中心,按逆时针方向旋转,使、、三点在同一条直线上,得到如图3所示的,连接,取的中点,连接并延长至点,使,连接、,得到四边形,发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将沿着方向平移,使点与点重合,此时点平移至点,与相交于点,如图4所示,连接,试求的值.
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综合与实践
问题情境
在综合与实践课上,老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动.如图1,矩形ABCD中,AD=2AB,连接AC,将△ABC绕点A旋转到某一位置,观察图形,提出问题并加以解决.
实践操作
(1)如图2,慎思组的同学将图1中的△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,得到△A'B'C',此时B'C过点D,则∠ADB= 度.
(2)博学组的同学在图2的基础上继续旋转到图3,此时点C'落在CD的延长线上,连接BB',该组提出下面两个问题:
①C'D和AB有何数量关系?并说明理由.
②BB'和AC′有何位置关系?并说明理由.
请你解决该组提出的这两个问题.
提出问题
(3)请你参照以上操作,将图1中的△ABC旋转至某一位置,在图4中画出新图形,表明字母,说明构图方法,并提出一个问题,不必解答.
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综合与实践
问题情境
在综合实践课上,老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动,如图(1),在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠B=∠C=α.
操作发现
(1)创新小组将图(1)中的△ABC以点B为旋转中心,逆时针旋转角度α,得到△DBE,再将△ABC以点A为旋转中心,顺时针旋转角度α,得到△AFG,连接DF,得到图(2),则四边形AFDE的形状是 .
(2)实践小组将图(1)中的△ABC以点B为旋转中心,逆时针逆转90°,得到△DBE,再将△ABC以点A为旋转中心,顺时针旋转90°,得到△AFG,连接DF、DG、AE,得到图(3),发现四边形AFDB为正方形,请你证明这个结论.
拓展探索
(3)请你在实践小组操作的基础上,再写出图(3)中的一个特殊四边形,并证明你的结论.
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综合与实践
问题情境
如图,同学们用矩形纸片ABCD开展数学探究活动,其中AD=8,CD=6。
操作计算
(1)如图(1),分别沿BE,DF剪去RtΔABE和RtΔCDF两张纸片,如果剩余的纸片BEDF菱形,求AE的长;
图(1) 图(2) 图(3)
操作探究
把矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到ΔABC和两张纸片
(2)将两张纸片如图(2)摆放,点C和重合,点B,C,D在同一条直线上,连接,记的中点为M,连接BM,MD,发现ΔBMD是等腰三角形,请证明:
(3)如图(3),将两张纸片叠合在一起,然后将纸片绕点B顺时针旋转a(00<a<900),连接和,探究并直接写出线段与的关系。
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问题情境:
在综合实践课上,张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动,张老师拿着一张矩形纸片ABCD,其中AB=acm, AD=bcm, 如图1,先沿对角线BD折叠,点C落在点E的位置,BE交AD于点F.
操作发现:
(1)“奋进”小组发现与BF的长度一定相等的线段是哪一条;
(2)如图2.“雄鹰”小组将图1再折叠一次,使点D与点A重合,得到折痕GH,GH交AD于点M,发现△DGH是等腰三角形,请你证明这个结论;
实践探究:
(3)“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照(2)中“雄鹰”小组的作法操作,发现点E和点G重合,,如图3,试探究“创新”小组准备的矩形纸片中a与b满足的数量关系;
(4)”爱心”小组在其他小组的基础上提出问题:当a与b满足什么关系时,点G是DE的中点?请你直接出a与b满足的关系.
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综合与实践:折纸中的数学
问题情境:数学活动课上,老师让同学们折叠正方形纸片ABCD进行探究活动,兴趣小组的同学经过动手操作探究,提出了如下两个问题:
问题1:如图(1),若点E为BC的中点,设AE将正方形纸片ABCD折叠,点B的对应点为B′,连接B′C,求证:B′C∥AE.
问题2:如图(2),若点E,点F分别为边BC,边AD的中点,沿AE、CF将正方形纸片ABCD折叠,点B的对应点为B′,点D的对应点D′,D′F与AB′交于点H,B′E与CD′交于点G,求证:四边形D′GB′H为矩形.
(1)解决问题:请你对兴趣小组提出的两个问题进行证明.
(2)拓展探究:解决完兴趣小组提出的两个问题后,实践小组的同学们进行如下实践操作:如图(3),点E,点F分别为BC、AD上的点,将正方形纸片沿AE、CF折叠,使得点B落在对角线上的点B′处,点D落在对角线AC上的点D′处,AE与对角线BD的交点为M,CF与对角线BD的交点为N,分别连接MB′,B′N,D′N,D′M.他们认为四边形MB′ND′为正方形.
实践小组的同学们发现的结论是否正确?请你说明理由.
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问题与探索
问题情境:课堂上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图(1),将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.
操作发现:
(1)将图(1)中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=∠BAC,得到如图(2)所示的△AC′D,分别延长BC和DC′交于点E,则四边形ACEC′的形状是 .
(2)创新小组将图(1)中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=2∠BAC,得到如图(3)所示的△AC′D,连接DB、C′C,得到四边形BCC′D,发现它是矩形,请证明这个结论.
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问题情境:课堂上,同学们研究几何变量之间的函数关系问题:如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=2.点P是AC上的一个动点,过点P作MN⊥AC,垂足为点P(点M在边AD、DC上,点N在边AB、BC上).设AP的长为x(0≤x≤4),△AMN的面积为y.
建立模型:(1)y与x的函数关系式为:,
解决问题:(2)为进一步研究y随x变化的规律,小明想画出此函数的图象.请你补充列表,并在如图的坐标系中画出此函数的图象:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
y | 0 |
|
|
| 0 |
(3)观察所画的图象,写出该函数的两条性质: .
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