如图，∠A=∠B=50°，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上（不与点 A 重合）...

如图，∠A＝∠B＝50°，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上（不与点 A 重合）的任意点，连接 MP，并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N，设∠ BPN＝α．

(1)求证：△APM≌△BPN；

(2)当 MN＝2BN 时，求α的度数；

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如图，∠A=∠B=50°，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上（不与点 A 重合）的任意一点，连接 MP， 并使MP 的延长线交射线BD 于点N，设∠BPN=α．

（1）求证：△APM≌△BPN；

（2）当 MN=2BN 时，求α的度数；

（3）若△BPN 为锐角三角形时，直接写出α的取值范围．

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如图，∠A=∠B=50°，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上（不与点 A 重合）的任意一点，连接 MP， 并使MP 的延长线交射线BD 于点N，设∠BPN=α．

（1）求证：△APM≌△BPN；

（2）当 MN=2BN 时，求α的度数；

（3）若△BPN 为锐角三角形时，直接写出α的取值范围．

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已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF．

（1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系；

（2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB=8，请直接写出线段CM的长．

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已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF．

（1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系；

（2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB=8，请直接写出线段CM的长．

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如图:已知△ABC是等边三角形,D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点,M是直线BC上的任意一点,在射线EF上截取EN,使EN=FM,连接DM、MN、DN.

(1)如图①,当点M在点B左侧时,请你按已知要求补全图形,并判断△DMN是怎样的特殊三角形(不要求证明);

(2)请借助图②解答:当点M在线段BF上(与点B、F不重合),其它条件不变时,(1)中的结论是否依然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

(3)请借助图③解答:当点M在射线FC上(与点F不重合),其它条件不变时,(1)中的结论是否仍然成立?画出图形，不要求证明.

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如图：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，M是直线BC上的任意一点，在射线EF上截取EN，使EN=FM，连接DM、MN、DN．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断△DMN是怎样的特殊三角形（不要求证明）；

（2）请借助图②解答：当点M在线段BF上（与点B、F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）请借助图③解答：当点M在射线FC上（与点F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明．

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如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点（与点A分别在直线BC两侧），且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F．

（1）求证：AD垂直BC；

（2）如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；

（3）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系．

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如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：①当AM的值为　　　　　　 时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为　　　　　　 时，四边形AMDN是菱形。

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如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：①当AM的值为　　　　　　 时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为　　　　　　 时，四边形AMDN是菱形。

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