小孟同学将等腰直角三角板ABC（AC＝BC）的直角顶点C放在一直线m上，将三角板绕C点旋转...

小孟同学将等腰直角三角板ABC（AC＝BC）的直角顶点C放在一直线m上，将三角板绕C点旋转，分别过A，B两点向这条直线作垂线AD，BE，垂足为D，E．

（1）如图1，当点A，B都在直线m上方时，猜想AD，BE，DE的数量关系是　　 　；

（2）将三角板ABC绕C点按逆时针方向旋转至图2的位置时，点A在直线m上方，点B在直线m下方．（1）中的结论成立吗？请你写出AD，BE，DE的数量关系，并证明你的结论．

（3）将三角板ABC继续绕C点逆时针旋转，当点A在直线m的下方，点B在直线m的上方时，请你画出示意图，按题意标好字母，直接写出AD，BE，DE的数量关系结论　　 　．

八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.

研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明；

（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由；

（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.

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如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．

（2）三角板绕点P旋转，△PCE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PCE为等腰三角形时BE的长）；若不能，请说明理由．

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如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了相同的方法进行解决：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；请证明小敏的发现的是正确的．

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（本题6分）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG（如图3）．请你选择其中的一种方法证明小敏的发现的是正确的．

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如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上．

在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．

若，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．

若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上，则中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．

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四边形ACBD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N．交直线AB于E、F两点，

（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；

（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由。

（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．

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如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，边AC的长为，将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的一条直角边与 AC相交，交点为点D，另一条直角边与BC相交，交点为点E．证明：等腰直角三角形ABC的边被三角板覆盖部分的两条线段CD与CE长度之和为定值．

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一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是　　　　　 。

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一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是　　　　　 。

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