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如图,⊙O的半径为2,弧AB等于120°,E是劣弧AB的中点.
(1)如图①,试说明:点O、E关于AB对称(即AB垂直平分OE.);
(2)把劣弧AB沿直线AB折叠(如图②)⊙O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切,求CD的长度的变化范围.
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已知:如图,D为线段AB上一点(不与点A、B重合),CD⊥AB,且CD=AB,AE⊥AB,BF⊥AB,且AE=BD,BF=AD.
(1)如图1,当点D恰是AB的中点时,请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系;
(2)如图2,当点D不是AB的中点时,你在(1)中所得的结论是否发生变化,写出你的猜想并证明;
(3)若∠ACB=α,直接写出∠ECF的度数(用含α的式子表示).
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在△ABC中,P为边AB上一点.
(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB;
(2)若M为CP的中点,AC=2,
① 如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
② 如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.
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如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,tanB=2,CE⊥AB,垂足为点E(点E在边AB上),F为边AD的中点,联结EF,CD.
(1)如图1,当点E是边AB的中点时,求线段EF的长;
(2)如图2,设BC=x,△CEF的面积等于y,求y与x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)当BC=16时,∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系:∠EFD=k∠AEF,其中k≥0,求k的值.
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如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,tanB=2,CE⊥AB,垂足为点E(点E在边AB上),F为边AD的中点,联结EF,CD.
(1)如图1,当点E是边AB的中点时,求线段EF的长;
(2)如图2,设BC=x,△CEF的面积等于y,求y与x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)当BC=16时,∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系:∠EFD=k∠AEF,其中k≥0,求k的值.
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如图,已知平面内有两条直线AB、CD,且AB∥CD,P为一动点.
(1)当点P移动到AB、CD之间时,如图(1),这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系?证明你的结论.
(2)当点P移动到AB的外侧时,如图(2),是否仍有(1)的结论?如果不是______,请写出你的猜想(不要求证明).
(3)当点P移动到如图(3)的位置时,∠P与∠A、∠C又有怎样的关系?能否利用(1)的结论来证明?还有其他的方法吗?请写出一种.
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已知:梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,AD=3,AB=6,DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F.
(1)当点E为边AB的中点时(如图1),求BC的长;
(2)当点E在边AB上时(如图2),联结CE,试问:∠DCE的大小是否确定?若确定,请求出∠DCE的正切值;若不确定,则设AE=x,∠DCE的正切值为y,请求出y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)当△AEF的面积为3时,求△DCE的面积.
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如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=AB•PE,S△ACP=AC•PF,S△ABC=AB•CH.
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,
∴AB•PE+AC•PF=AB•CH.
∵AB=AC,
∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=______.
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已知不等臂跷跷板AB长为3米,当AB的一端点A碰到地面时(如图1),AB与地面的夹角为30°;当AB的另一端点B碰到地面时(如图2),AB与地面的夹角的正弦值为,那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=_____米.
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已知不等臂跷跷板AB长4m。如图①,当AB的一端碰到地面时,AB与地面的夹角为a;如图②,当AB的另一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为b。求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH。(用含a、b的式子表示)