如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A、点B均不重合).
(1)当AE=8时,求EF的长;
(2)设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P到达点B时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
九年级数学解答题困难题
如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A、点B均不重合).
(1)当AE=8时,求EF的长;
(2)设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P到达点B时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A、点B均不重合).
(1)当AE=8时,求EF的长;
(2)设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P到达点B时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A、点B均不重合).
(1)当AE=8时,求EF的长;
(2)设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P到达点B时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
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如图,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
(1)求证: ;
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值;
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.
【答案】(1)证明见解析;(2)当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20;(3)
【解析】试题分析:(1)本题利用相似三角形的性质——相似三角形的对应边上的高之比等于相似比解决;(2)根据第一问的结论,即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式,根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值;(3)此题要理清几个关键点,当矩形的面积最大时,由(2)可知此时EF=5,EQ=4;易证得△CPF是等腰Rt△,则PC=PF=4,QC=QP+PC=9;
一、P、C重合时,矩形移动的距离为PC(即4),运动的时间为4s;
二、E在线段AC上时,矩形移动的距离为9-4=5,运动的时间为5s;
三、Q、C重合时,矩形运动的距离为QC(即9),运动的时间为9s;
所以本题要分三种情况,分别写出解析式即可.
(1)∵ 四边形EFPQ是矩形,∴ EF∥QP.∴ △AEF∽△ABC.
又∵ AD⊥BC,
∴ AH⊥EF,∴
(2)由(1)得,∴ AH=x.
∴ EQ=HD=AD-AH=8-x,
∴ S矩形EFPQ=EF·EQ=x (8-x) =-x2+8 x=-(x-5)2+20.
∵ -<0, ∴ 当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.
(3)如图1,由(2)
得EF=5,EQ=4.
∵∠C=45°,∴ △FPC是等腰直角三角形.
∴ PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9.
分三种情况讨论:① 如图2.当0≤t<4时,
设EF、PF分别交AC于点M、N,则△MFN是等腰直角三角形,
∴ FN=MF=t.
∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2=-t2+20;
②如图3,当4≤t<5时,则ME=5-t,QC=9-t.
∴ S=S梯形EMCQ= [(5-t)+(9-t )]×4=-4t+28;
③如图4,当5≤t≤9时,设EQ交AC于点K,则KQ=QC=9-t.
∴ S=S△KQC= (9-t)2= ( t-9)2.
综上所述:S与t的函数关系式为:
点睛:此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识,同时还考查了分类讨论的数学思想.
【题型】解答题
【结束】
12
已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得x1·x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
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