如图1,共顶点的两个三角形△ABC,△AB′C′,若 AB=AB′,AC=AC′,且∠BAC+∠B′AC′=180°,我们称△ABC 与△AB′C′互为“顶补三角形”.
(1)已知△ABC 与△ADE 互为“顶补三角形”,AF 是△ABC 的中线.
①如图 2,若△ADE 为等边三角形时,求证:DE=2AF;
②如图 3,若△ADE 为任意三角形时,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
(2)如图4,四边形 ABCD 中,∠B+∠C=90°.在平面内是否存在点 P,使△PAD 与△PBC 互为“顶补三角形”, 若存在,请画出图形,并证明;若不存在,请说明理由.
八年级数学解答题中等难度题
如图1,共顶点的两个三角形△ABC,△AB′C′,若 AB=AB′,AC=AC′,且∠BAC+∠B′AC′=180°,我们称△ABC 与△AB′C′互为“顶补三角形”.
(1)已知△ABC 与△ADE 互为“顶补三角形”,AF 是△ABC 的中线.
①如图 2,若△ADE 为等边三角形时,求证:DE=2AF;
②如图 3,若△ADE 为任意三角形时,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
(2)如图4,四边形 ABCD 中,∠B+∠C=90°.在平面内是否存在点 P,使△PAD 与△PBC 互为“顶补三角形”, 若存在,请画出图形,并证明;若不存在,请说明理由.
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
定义:如图1,在△ABC和△ADE中,AB=AC=AD=AE,当∠BAC+∠DAE=180° 时,我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”,△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”,点A叫做“旋补中心”.
(1)特例感知:在图2,图3中,△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”,AM是“顶心距”。
①如图2,当∠BAC=90°时,AM与DE之间的数量关系为AM= DE;
②如图3,当∠BAC=120°,ED=6时,AM的长为 。
(2)猜想论证:
在图1中,当∠BAC为任意角时,猜想AM与DE之间的数量关系,并给予证明。
(3)拓展应用
如图4,在四边形ABCD中,AD=AB,CD=BC,∠B=90°,∠A=60°,CA=,在四边ABCD的内部找到点P,使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”。并回答下列问题。
①请在图中标出点P的位置,并描述出该点的位置为 ;
②直接写出△PBC的“顶心距”的长为 。
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转.
1.如图a,当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证:△BPE~△CFP;
2.操作:将三角板绕点P旋转到图b情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.
探究1:△BPE与△CFP还相似吗?(只需写出结论)(2分)
探究2:连结EF,△BPE与△PFE是否相似?请说明理由;
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图,已知△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90º,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:①图中只有2对全等三角形,②AE=CF; ③△EPF是等腰直角三角形;④ S四边形AEPF=S△ABC;⑤EF的最小值为.上述结论始终正确的有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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如图,已知△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90º,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:①图中只有2对全等三角形,②AE=CF;③△EPF是等腰直角三角形;④S四边形AEPF=S△ABC;⑤EF的最小值为.上述结论始终正确的有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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如图,已知△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90º,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:①图中只有2对全等三角形,②AE=CF;③△EPF是等腰直角三角形;④S四边形AEPF=S△ABC;⑤EF的最小值为.上述结论始终正确的有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
八年级数学选择题中等难度题查看答案及解析
等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转.
(1)如图a,当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证:△BPE∽△CFP;
(2)操作:将三角板绕点P旋转到图b情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.
① 探究1:△BPE与△CFP还相似吗?(只需写出结论)
② 探究2:连结EF,△BPE与△PFE是否相似?请说明理由;
八年级数学解答题简单题查看答案及解析
如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出下列四个结论:
①AE=CF;
②△EPF是等腰直角三角形;
③EF=AB;
④,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
八年级数学填空题困难题查看答案及解析
如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出下列四个结论:
①AE=CF;
②△EPF是等腰直角三角形;
③EF=AB;
④,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
八年级数学填空题困难题查看答案及解析
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,现在有一足够大的直角三角板,它的直角顶点D是BC上一点,另两条直角边分别交AB、AC于点E、F.
(1)如图1,若DE⊥AB,DF⊥AC,求证:四边形AEDF是矩形;
(2)在(1)条件下,若点D在∠BAC的 角平分线上,试判断此时四边形AEDF的形状,并说明理由;
(3)若点D在∠BAC的角平分线上,将直角三角板绕点D旋转一定的角度,使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F(如图2),试证明AE+AF=AD.
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