匈牙利著名数学家爱尔特希曾提出:在平面内有 n 个点,其中每三个点都能构成等腰三角形.人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集称为爱尔特希点集.
如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC>BC,请在△ABC 的内部和外部各作一个点 D,使点 A,B,C,D 构成爱尔特希点集.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
八年级数学解答题中等难度题
匈牙利著名数学家爱尔特希曾提出:在平面内有 n 个点,其中每三个点都能构成等腰三角形.人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集称为爱尔特希点集.
如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC>BC,请在△ABC 的内部和外部各作一个点 D,使点 A,B,C,D 构成爱尔特希点集.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
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背景资料:
在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为“费马点”.
如图①,当△ABC三个内角均小于120°时,费马点P在△ABC内部,此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,此时,PA+PB+PC的值最小.
解决问题:
(1)如图②,等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;
基本运用:
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:
如图③,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点,且∠EAF=45°,判断BE,EF,FC之间的数量关系并证明;
能力提升:
(3)如图④,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点P为Rt△ABC的费马点,
连接AP,BP,CP,求PA+PB+PC的值.
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在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”,但是在实际丈量土地面积时,量出高并非易事,所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积.我国南宋著名的数学家秦九韶(年—年)提出了“三斜求积术”,阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法,简称秦九韶公式.在海伦(公元年左右,生平不详)的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法,相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德(公元前年—公元前年)得出的,故我国称这个公式为海伦一秦九韶公式.它的表达为:三角形三边长分别为、、,则三角形的面积(公式里的为半周长即周长的一半).
请利用海伦一秦九韶公式解决以下问题:
()三边长分别为、、的三角形面积为__________.
()四边形中,,,,,,四边形的面积为__________.
()五边形中,,,,,,,五边形的面积为__________.
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背景介绍:勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.
小试牛刀:把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a、b、c.显然,
∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
S梯形ABCD= ,
S△ABC= ,
S四边形AECD= ,
则它们满足的关系式为 经化简,可得到勾股定理.
知识运用:
(1)如图2,铁路上A、B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C、D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=25千米,BC=16千米,则两个村庄的距离为 千米(直接填空);
(2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离.
知识迁移:借助上面的思考过程与几何模型,求代数式的最小值(0<x<16)
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在我们的生活中处处有数学的身影,请看图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理_____.
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下列结论正确的是( )
A. 两直线被第三条直线所截,同位角相等
B. 三角形的一个外角等于两个内角的和
C. 多边形最多有三个外角是钝角
D. 连接平面上三点构成的图形是三角形
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(1)如图①,△ABC是等边三角形,△ABC所在平面上有一点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形,问:具有这样性质的点P有几个?在图中画出来.
(2)如图②,正方形ABCD所在的平面上有一点P,使△PAB,△PBC,△PCD,△PDA都是等腰三角形,问:具有这样性质的点P有几个?在图中画出来.
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在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形,具有这种性质的点P有_____个.
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(背景介绍)勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.
(小试牛刀)把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a、b、c.显然,∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
S梯形ABCD= ,
S△EBC= ,
S四边形AECD= ,
则它们满足的关系式为 ,经化简,可得到勾股定理.
(知识运用)(1)如图2,铁路上A、B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C、D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=25千米,BC=16千米,则两个村庄的距离为 千米(直接填空);
(2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离.
(知识迁移)借助上面的思考过程与几何模型,求代数式最小值(0<x<16)
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[问题情境] 勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”带到其他星球作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述] 请你根据图(1)中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
[尝试证明] 以图(1)中的直角三角形为基础可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形如图(2)。请你利用图(2)验证勾股定理;
[知识拓展] 利用图(2)的直角梯形,我们可以证明,其证明步骤如下:
∵BC=a+b,AD=________ ________.
又∵在直角梯形ABCD中有直角腰BC 斜腰AD(填“>”,“<”或“=”),即 。
∴
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